Решите уравнение x²-6x+√6-x=√6-x+7

Решение:

Данное уравнение:

\[ x^2 - 6x + \sqrt{6-x} = \sqrt{6-x} + 7 \]

Для начала, вычтем \( \sqrt{6-x} \) из обеих частей уравнения:

\[ x^2 - 6x = 7 \]

Перенесём всё в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

\[ x^2 - 6x - 7 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

Метод дискриминанта:

1. Определим коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = -7 \).
2. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
4. Найдём корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Метод теоремы Виета:

Для приведённого квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \), сумма корней равна \( -p \), а произведение корней равно \( q \).

В нашем случае \( p = -6 \) и \( q = -7 \).

• \( x_1 + x_2 = -(-6) = 6 \)
• \( x_1 \cdot x_2 = -7 \)

Подбираем числа, которые в сумме дают 6, а в произведении -7. Это числа 7 и -1.

• \( 7 + (-1) = 6 \)
• \( 7 \cdot (-1) = -7 \)

Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -1 \).

Важно: Исходное уравнение содержало корень \( \sqrt{6-x} \). Необходимо проверить, что подкоренное выражение \( 6-x \) неотрицательно для найденных корней.

• Для \( x=7 \): \( 6-7 = -1 \). Это значение отрицательное, поэтому \( x=7 \) не является решением исходного уравнения.
• Для \( x=-1 \): \( 6-(-1) = 6+1 = 7 \). Это значение положительное, поэтому \( x=-1 \) является решением исходного уравнения.

Ответ: x = -1.