Решите уравнение (x – 8)⁴ – 5(x – 8)² – 14 = 0.

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( (x - 8)^2 \). Введём замену переменной:

Пусть \( y = (x - 8)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 5y - 14 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \).
2. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
3. Найдём корни \( y \) по формуле:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) в выражение \( y = (x - 8)^2 \).

1. Случай 1: \( (x - 8)^2 = 7 \)

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x - 8 = \pm\sqrt{7} \]

Выразим \( x \):

\[ x = 8 \pm\sqrt{7} \]

Получаем два корня: \( x_1 = 8 + \sqrt{7} \) и \( x_2 = 8 - \sqrt{7} \).

1. Случай 2: \( (x - 8)^2 = -2 \)

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: x₁ = 8 + \(\sqrt{7}\), x₂ = 8 - \(\sqrt{7}\).