Решите уравнение: x^{\(\log\)_2 x} = 4x.

Решение:

Данное уравнение является показательно-степенным. Для его решения применим логарифмирование обеих частей уравнения по основанию 2.

1. Ограничения: Для существования логарифма \( \log_2 x \) необходимо, чтобы \( x > 0 \).
2. Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
   \( \log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(4x) \)
3. Используем свойства логарифмов: \( \log_a(b^c) = c \cdot \log_a b \) и \( \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c \).
   \( (\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = \log_2 4 + \log_2 x \)
4. Введём замену переменной: Пусть \( y = \log_2 x \). Тогда уравнение примет вид:
   \( y^2 = \log_2 4 + y \)
5. Упрощаем уравнение: Так как \( \log_2 4 = 2 \), получаем:
   \( y^2 = 2 + y \)
6. Решаем квадратное уравнение относительно \( y \):
   \( y^2 - y - 2 = 0 \)
   Используем теорему Виета: \( y_1 + y_2 = 1 \) и \( y_1 \cdot y_2 = -2 \).
   Корни: \( y_1 = 2 \) и \( y_2 = -1 \).
7. Возвращаемся к замене переменной:
   
   • Случай 1: \( \log_2 x = 2 \)
     \( x = 2^2 \)
     \( x = 4 \)
   • Случай 2: \( \log_2 x = -1 \)
     \( x = 2^{-1} \)
     \( x = \frac{1}{2} \)
8. Проверяем корни на соответствие ограничениям: Оба корня \( x = 4 \) и \( x = \frac{1}{2} \) удовлетворяют условию \( x > 0 \).

Ответ: x = 4, x = \(\frac{1}{2}\).