Решите уравнение: x(x+2) + 5/(x-1) = 5/(x-1) + 3.

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Оно выглядит немного сложным, но мы справимся, шаг за шагом.

Дано уравнение:

• \[ x(x+2) + \frac{5}{x-1} = \frac{5}{x-1} + 3 \]

Шаг 1: Упрощение уравнения

Обрати внимание, что дробь $$\frac{5}{x-1}$$ есть с обеих сторон уравнения. Мы можем вычесть ее из обеих частей:

• \[ x(x+2) + \cancel{\frac{5}{x-1}} = \cancel{\frac{5}{x-1}} + 3 \]

Остается:

• \[ x(x+2) = 3 \]

Шаг 2: Раскрытие скобок и приведение к стандартному виду

Раскроем скобки, умножив $$x$$ на $$x$$ и $$x$$ на $$2$$:

• \[ x^2 + 2x = 3 \]

Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $$ax^2 + bx + c = 0$$:

• \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Давай воспользуемся дискриминантом.

Для уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$, дискриминант $$D$$ вычисляется по формуле: $$D = b^2 - 4ac$$.

В нашем случае: $$a=1$$, $$b=2$$, $$c=-3$$.

• \[ D = 2^2 - 4(1)(-3) \]
• \[ D = 4 + 12 \]
• \[ D = 16 \]

Так как $$D > 0$$, у нас будет два корня.

Корни находятся по формуле: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$.

Найдем первый корень ($$x_1$$):

• \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} \]
• \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} \]
• \[ x_1 = \frac{2}{2} \]
• \[ x_1 = 1 \]

Найдем второй корень ($$x_2$$):

• \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} \]
• \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} \]
• \[ x_2 = \frac{-6}{2} \]
• \[ x_2 = -3 \]

Шаг 4: Проверка на ограничения

В исходном уравнении у нас были знаменатели $$x-1$$. Мы не можем делить на ноль, поэтому $$x-1 \neq 0$$, что означает $$x \neq 1$$.

Смотрим на наши корни: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -3$$.

Корень $$x_1 = 1$$ не подходит, потому что он приводит к делению на ноль в исходном уравнении. Это так называемый