Решите уравнение: (x²+x-3)²+2x²+2x-5=0

Решение:

Обозначим \( y = x^2+x \). Тогда уравнение примет вид:

\( (y-3)^2 + 2y - 5 = 0 \)

1. Раскроем скобки: \( y^2 - 6y + 9 + 2y - 5 = 0 \)
2. Приведём подобные члены: \( y^2 - 4y + 4 = 0 \)
3. Это квадрат суммы: \( (y - 2)^2 = 0 \)
4. Отсюда следует, что \( y - 2 = 0 \), значит \( y = 2 \).
5. Подставим обратно \( y = x^2+x \): \( x^2+x = 2 \)
6. Перенесём всё в одну сторону: \( x^2+x-2 = 0 \)
7. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).
8. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -2.