Решите уравнение (x² - x)² + 3(x² - x) - 4 = 0. Если корней несколько, то в ответе укажите их произведение.

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Оно кажется сложным, но сейчас ты увидишь, что все не так страшно!

1. Вводим замену переменной

• Заметим, что в уравнении есть повторяющийся элемент: (x² - x).
• Давай заменим его на новую переменную, например, y.
• Тогда наше уравнение примет вид: y² + 3y - 4 = 0.

2. Решаем квадратное уравнение

• Теперь у нас есть обычное квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или по теореме Виета.
• Найдем корни по теореме Виета:
• Произведение корней: y₁ * y₂ = -4
• Сумма корней: y₁ + y₂ = -3
• Подбираем числа: y₁ = 1 и y₂ = -4.
• Проверим: 1 * (-4) = -4 (верно) и 1 + (-4) = -3 (верно).

3. Возвращаемся к исходной переменной

• Мы нашли значения для y, теперь нужно найти значения для x, подставив обратно (x² - x) вместо y.
• Случай 1: y = 1
• x² - x = 1
• Переносим все в одну сторону: x² - x - 1 = 0
• Решаем это квадратное уравнение. Найдем дискриминант (D):
• D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5
• Корни: x₁ = (1 + √5) / 2 и x₂ = (1 - √5) / 2
• Случай 2: y = -4
• x² - x = -4
• Переносим все в одну сторону: x² - x + 4 = 0
• Найдем дискриминант (D):
• D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * 4 = 1 - 16 = -15
• Так как дискриминант отрицательный (D < 0), это уравнение не имеет действительных корней.

4. Находим произведение корней

• У нас есть два действительных корня: x₁ = (1 + √5) / 2 и x₂ = (1 - √5) / 2.
• По условию задачи, если корней несколько, нужно найти их произведение.
• Произведение корней: x₁ * x₂
• Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 произведение корней равно c/a.
• В нашем случае, для уравнения x² - x - 1 = 0, a = 1, b = -1, c = -1.
• Произведение корней = -1 / 1 = -1.

Ответ: -1