Решите уравнение x⁴-x³-3x²+4x-4 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Его можно решить методом подстановки или заметить, что оно является симметричным.

Проверим целочисленные корни среди делителей свободного члена (-4): ±1, ±2, ±4.

Подставим \( x = 1 \): \( 1^4 - 1^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 4 = 1 - 1 - 3 + 4 - 4 = -3 \neq 0 \).

Подставим \( x = -1 \): \( (-1)^4 - (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4(-1) - 4 = 1 - (-1) - 3(1) - 4 - 4 = 1 + 1 - 3 - 4 - 4 = -9 \neq 0 \).

Подставим \( x = 2 \): \( 2^4 - 2^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 4 = 16 - 8 - 3(4) + 8 - 4 = 16 - 8 - 12 + 8 - 4 = 0 \). Значит, \( x = 2 \) — корень.

Подставим \( x = -2 \): \( (-2)^4 - (-2)^3 - 3(-2)^2 + 4(-2) - 4 = 16 - (-8) - 3(4) - 8 - 4 = 16 + 8 - 12 - 8 - 4 = 0 \). Значит, \( x = -2 \) — корень.

Так как \( x=2 \) и \( x=-2 \) являются корнями, то многочлен делится на \( (x-2) \) и \( (x+2) \), то есть на \( (x^2-4) \).

Разделим \( x^4 - x^3 - 3x^2 + 4x - 4 \) на \( x^2 - 4 \) столбиком:

   x^4 - x^3 - 3x^2 + 4x - 4 | x^2 - 4
- (x^4       - 4x^2)      | x^2 - x + 1
--------------------------
     - x^3 +  x^2 + 4x
- (- x^3       + 4x)
--------------------------
            x^2       - 4
- (           x^2       - 4)
--------------------------
                    0

Таким образом, уравнение можно переписать как \( (x^2 - 4)(x^2 - x + 1) = 0 \).

Уравнение \( x^2 - 4 = 0 \) имеет корни \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 - x + 1 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 \).

Так как \( D < 0 \), это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -2.