Решите уравнение x(x²+4x+4)=3(x+2).

Решение:

Данное уравнение:

\[ x(x^2 + 4x + 4) = 3(x+2) \]

Заметим, что выражение в скобках слева является полным квадратом:

\[ x(x+2)^2 = 3(x+2) \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ x(x+2)^2 - 3(x+2) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x+2) \) за скобки:

\[ (x+2) [x(x+2) - 3] = 0 \]

Раскроем скобки во втором множителе:

\[ (x+2) [x^2 + 2x - 3] = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \]

Найдём корни квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

Получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Таким образом, исходное уравнение распадается на два простых:

\[ x+2 = 0 \]или\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Первое уравнение даёт корень \( x = -2 \).

Второе уравнение даёт корни \( x = 1 \) и \( x = -3 \).

Объединяя все найденные корни, получаем три решения.

Ответ: x = -2, x = 1, x = -3.