Решите уравнение: x / (x-5) + (3x+15) / (x^2-25) = 0.

Решение:

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \).
2. Приведём обе дроби к общему знаменателю \( (x-5)(x+5) \). Первую дробь домножим на \( (x+5) \), вторую оставляем без изменений: \[ \frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0 \]
3. Запишем числитель в виде суммы: \[ \frac{x(x+5) + (3x+15)}{(x-5)(x+5)} = 0 \]
4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в числителе: \[ \frac{x^2 + 5x + 3x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0 \] \[ \frac{x^2 + 8x + 15}{(x-5)(x+5)} = 0 \]
5. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
6. Приравняем числитель к нулю: \( x^2 + 8x + 15 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна \(-8\), произведение — \(15\). Корни: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = -5 \).
8. Проверим знаменатель. Знаменатель обращается в ноль, если \( x = 5 \) или \( x = -5 \).
9. Корень \( x = -5 \) не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль.
10. Корень \( x = -3 \) подходит, так как он не обращает знаменатель в ноль.

Ответ: x = -3.