Решите уравнение x(x²+2x+1) = 2(x+1).

Решим уравнение x(x² + 2x + 1) = 2(x + 1).

Для начала заметим, что x² + 2x + 1 – это полный квадрат, который можно записать как (x + 1)². Тогда наше уравнение примет вид:

$$x(x+1)^2 = 2(x+1)$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x(x+1)^2 - 2(x+1) = 0$$

Вынесем (x+1) за скобки:

$$(x+1)(x(x+1) - 2) = 0$$

Раскроем скобки во втором множителе:

$$(x+1)(x^2 + x - 2) = 0$$

Теперь у нас есть два множителя, произведение которых равно нулю. Это означает, что либо первый множитель равен нулю, либо второй. Рассмотрим оба случая.

Случай 1:

$$x + 1 = 0$$

$$x = -1$$

Случай 2:

$$x^2 + x - 2 = 0$$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$

Так как D > 0, у нас будет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Таким образом, мы нашли три решения: x = -1, x = 1 и x = -2.