Решите уравнение (2x-1)(x²+2x+1)=2x²+2x.

Привет, ученики! Давайте решим это уравнение вместе.

1. Раскрытие скобок:
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножая (2x - 1) на каждый член в (x² + 2x + 1):

\[ (2x - 1)(x^2 + 2x + 1) = 2x(x^2 + 2x + 1) - 1(x^2 + 2x + 1) \]

\[ = 2x^3 + 4x^2 + 2x - x^2 - 2x - 1 \]

\[ = 2x^3 + 3x^2 - 1 \]

2. Переписываем уравнение:
Теперь перепишем исходное уравнение с раскрытыми скобками:

\[ 2x^3 + 3x^2 - 1 = 2x^2 + 2x \]

3. Переносим все члены в левую часть:
Чтобы решить уравнение, перенесем все члены в левую часть:

\[ 2x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 2x - 1 = 0 \]

\[ 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0 \]

4. Группировка и факторизация:
Сгруппируем члены и вынесем общие множители для факторизации:

\[ (2x^3 + x^2) + (-2x - 1) = 0 \]

\[ x^2(2x + 1) - 1(2x + 1) = 0 \]

\[ (x^2 - 1)(2x + 1) = 0 \]

Теперь разложим (x² - 1) как разность квадратов:

\[ (x - 1)(x + 1)(2x + 1) = 0 \]

5. Решаем уравнение:
Теперь у нас есть три множителя, произведение которых равно нулю. Это означает, что хотя бы один из них должен быть равен нулю:

\[ x - 1 = 0 \] или \[ x + 1 = 0 \] или \[ 2x + 1 = 0 \]

Решаем каждое из этих уравнений:

1. \[ x - 1 = 0 \] => \[ x = 1 \]
2. \[ x + 1 = 0 \] => \[ x = -1 \]
3. \[ 2x + 1 = 0 \] => \[ 2x = -1 \] => \[ x = -\frac{1}{2} \]

Ответ:
Таким образом, решения уравнения:

\[ x = 1, \quad x = -1, \quad x = -\frac{1}{2} \]

Итак, x = 1, x = -1, x = -0.5.