Решите уравнение: $$y^6 - 9y^3 + 8 = 0$$. В ответ запишите наименьший корень.

Привет! Давай разберемся с этим уравнением. Оно выглядит немного страшно из-за степени 6, но на самом деле оно довольно простое, если применить небольшой хитрый приём.

1. Замена переменной:

• Видишь, что $$y^6$$ - это то же самое, что $$(y^3)^2$$? Это значит, что мы можем сделать замену. Пусть $$x = y^3$$.
• Тогда наше уравнение превратится в: $$x^2 - 9x + 8 = 0$$.

2. Решаем квадратное уравнение:

• Это обычное квадратное уравнение вида $$ax^2 + bx + c = 0$$, где $$a=1$$, $$b=-9$$, $$c=8$$.
• Найдем дискриминант (D): $$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 × 1 × 8 = 81 - 32 = 49$$.
• Теперь найдем корни (x):
• $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 × 1} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
• $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

3. Возвращаемся к исходной переменной (y):

• Мы нашли значения для $$x$$. Теперь нужно найти $$y$$, подставив наши значения обратно в замену $$x = y^3$$.
• Случай 1: $$x_1 = 8$$
• $$y^3 = 8$$
• Чтобы найти $$y$$, нужно взять кубический корень из 8.
• $$y = \sqrt[3]{8} = 2$$
• Случай 2: $$x_2 = 1$$
• $$y^3 = 1$$
• Чтобы найти $$y$$, нужно взять кубический корень из 1.
• $$y = \sqrt[3]{1} = 1$$

4. Находим наименьший корень:

• У нас получилось два корня для $$y$$: $$2$$ и $$1$$.
• Нам нужно записать наименьший корень.
• Сравниваем $$2$$ и $$1$$. Наименьшее число - это $$1$$.

Ответ: 1