Решите уравнение: y(y + 2)(y – 2) – 2y(y – 4)² = y³ – 6y².

Решаем уравнение:

Сначала раскроем скобки и упростим левую часть уравнения:

1. \( y(y + 2)(y – 2) \) это разность квадратов \( y(y^2 - 4) \) = \( y^3 - 4y \).
2. \( 2y(y – 4)^2 \) = \( 2y(y^2 - 8y + 16) \) = \( 2y^3 - 16y^2 + 32y \).

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ (y^3 - 4y) - (2y^3 - 16y^2 + 32y) = y^3 - 6y^2 \]

Раскроем скобки:

\[ y^3 - 4y - 2y^3 + 16y^2 - 32y = y^3 - 6y^2 \]

Приведём подобные члены слева:

\[ -y^3 + 16y^2 - 36y = y^3 - 6y^2 \]

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 0 = y^3 + y^3 - 6y^2 - 16y^2 + 36y \]

\[ 0 = 2y^3 - 22y^2 + 36y \]

Вынесем общий множитель \( 2y \) за скобки:

\[ 2y(y^2 - 11y + 18) = 0 \]

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \( y^2 - 11y + 18 = 0 \). Используем теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: нам нужны два числа, произведение которых равно 18, а сумма равна 11. Эти числа: 2 и 9.

Следовательно, \( y = 2 \) и \( y = 9 \).

У нас получилось три возможных значения для \( y \) из уравнения \( 2y(y^2 - 11y + 18) = 0 \):

• \( 2y = 0 \) → \( y = 0 \)
• \( y^2 - 11y + 18 = 0 \) → \( y = 2 \) и \( y = 9 \)

Таким образом, у этого уравнения 3 решения.

Ответ: 0, 2, 9.