Решите уравнение z² – 6z – 16 = 0

Для решения квадратного уравнения z² – 6z – 16 = 0, воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом.

1. Через дискриминант:

Общий вид квадратного уравнения: $$az^2 + bz + c = 0$$, где

• a = 1
• b = -6
• c = -16

Дискриминант (D) вычисляется по формуле: $$D = b^2 - 4ac$$

• $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$$

Так как D > 0, уравнение имеет два действительных корня.

Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

• $$z_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$
• $$z_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

Тогда:

• $$z_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
• $$z_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

2. По теореме Виета:

Для квадратного уравнения $$z^2 + bz + c = 0$$ сумма корней равна коэффициенту при z с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

• $$z_1 + z_2 = -b$$
• $$z_1 \cdot z_2 = c$$

В нашем случае:

• $$z_1 + z_2 = 6$$
• $$z_1 \cdot z_2 = -16$$

Подбираем числа, удовлетворяющие этим условиям: 8 и -2, так как 8 + (-2) = 6 и 8 × (-2) = -16.

Ответ:

• z = 8
• z = -2

Ответ: 8, -2