Решите уравнение: z + \(\frac{1}{z-2}\) = 0

Решение:

Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

\( z - 2 \neq 0 \)

\( z \neq 2 \)

Теперь приведём уравнение к общему знаменателю:

\( \frac{z(z-2)}{z-2} + \frac{1}{z-2} = 0 \)

\( \frac{z(z-2) + 1}{z-2} = 0 \)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\( z(z-2) + 1 = 0 \)

Раскроем скобки:

\( z^2 - 2z + 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Мы видим, что оно является полным квадратом:

\( (z - 1)^2 = 0 \)

Из этого следует:

\( z - 1 = 0 \)

\( z = 1 \)

Проверим полученное значение \( z = 1 \) на соответствие ОДЗ. \( 1 \neq 2 \), значит, корень подходит.

Ответ: \( z = 1 \).