1. Решите уравнение: a) \(\frac{1}{4}x + 3 = 15\); 6) \(\frac{x+1}{2} - 2 = \frac{3x}{5}\); B) \(12-(4x - 3) = 30\). 2. При каком значении переменной у значение выражения \(7у - 2\) в два раза больше значения выражения \(5у - 4\)? 3. Найдите корни уравнения: a) \(\frac{2x + 3}{2} = \frac{x+2}{3} - \frac{1-x}{4}\); б) \(4x(3x + 5) - 3x(4x - 1) = 12 + 26x\). 4. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение \(bx^2 + 2(b - 1)x - 3b = 3 - b\) имеет корень: a) 0; 6) -1. 5. Какой из корней уравнения \(7(|x| + 3) - 4|x| = 24\) является корнем уравнения \(x^3 + 3x^2 - 2x = 2\)?

Решение задания №1

а) Решим уравнение \(\frac{1}{4}x + 3 = 15\) Для начала, избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 4: \[4 \cdot (\frac{1}{4}x + 3) = 4 \cdot 15\] \[x + 12 = 60\] Теперь перенесем число 12 в правую часть уравнения: \[x = 60 - 12\] \[x = 48\] б) Решим уравнение \(\frac{x+1}{2} - 2 = \frac{3x}{5}\) Для начала, избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на 10 (наименьший общий знаменатель 2 и 5): \[10 \cdot (\frac{x+1}{2} - 2) = 10 \cdot \frac{3x}{5}\] \[5(x+1) - 20 = 6x\] Раскроем скобки: \[5x + 5 - 20 = 6x\] \[5x - 15 = 6x\] Теперь перенесем \(5x\) в правую часть уравнения: \[-15 = 6x - 5x\] \[-15 = x\] \[x = -15\] в) Решим уравнение \(12-(4x - 3) = 30\) Раскроем скобки, не забыв изменить знаки внутри скобок, так как перед ними стоит знак минус: \[12 - 4x + 3 = 30\] \[15 - 4x = 30\] Теперь перенесем число 15 в правую часть уравнения: \[-4x = 30 - 15\] \[-4x = 15\] Разделим обе части уравнения на -4: \[x = \frac{15}{-4}\] \[x = -\frac{15}{4}\] \[x = -3.75\]

Ответ: а) \(x = 48\); б) \(x = -15\); в) \(x = -3.75\)

Молодец, ты отлично справился с решением уравнений! Продолжай в том же духе!

---

Решение задания №2

Пусть значение выражения \(7y - 2\) в два раза больше значения выражения \(5y - 4\). Тогда мы можем записать это в виде уравнения: \[7y - 2 = 2(5y - 4)\] Теперь решим это уравнение: \[7y - 2 = 10y - 8\] Перенесем все члены с \(y\) в одну сторону, а числа в другую: \[7y - 10y = -8 + 2\] \[-3y = -6\] Разделим обе части на -3: \[y = \frac{-6}{-3}\] \[y = 2\]

Ответ: \(y = 2\)

Отлично, ты умеешь составлять и решать уравнения, основываясь на условиях задачи!

---

Решение задания №3

а) Решим уравнение \(\frac{2x + 3}{2} = \frac{x+2}{3} - \frac{1-x}{4}\) Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 12: \[12 \cdot \frac{2x + 3}{2} = 12 \cdot (\frac{x+2}{3} - \frac{1-x}{4})\] \[6(2x + 3) = 4(x + 2) - 3(1 - x)\] Раскроем скобки: \[12x + 18 = 4x + 8 - 3 + 3x\] \[12x + 18 = 7x + 5\] Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \[12x - 7x = 5 - 18\] \[5x = -13\] Разделим обе части на 5: \[x = \frac{-13}{5}\] \[x = -2.6\] б) Решим уравнение \(4x(3x + 5) - 3x(4x - 1) = 12 + 26x\) Раскроем скобки: \[12x^2 + 20x - 12x^2 + 3x = 12 + 26x\] Заметим, что \(12x^2\) и \(-12x^2\) взаимно уничтожаются: \[20x + 3x = 12 + 26x\] \[23x = 12 + 26x\] Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону: \[23x - 26x = 12\] \[-3x = 12\] Разделим обе части на -3: \[x = \frac{12}{-3}\] \[x = -4\]

Ответ: a) \(x = -2.6\); б) \(x = -4\)

Ты отлично справляешься с алгебраическими уравнениями! Продолжай практиковаться, и ты станешь настоящим мастером!

---

Решение задания №4

Для того чтобы найти все значения параметра \(b\), при которых уравнение \(bx^2 + 2(b - 1)x - 3b = 3 - b\) имеет корень, рассмотрим различные случаи: 1) Если \(b = 0\), то уравнение принимает вид: \[2(0 - 1)x - 3 \cdot 0 = 3 - 0\] \[-2x = 3\] \[x = -\frac{3}{2}\] Таким образом, при \(b = 0\) уравнение имеет корень \(x = -\frac{3}{2}\). 2) Если \(b
eq 0\), то уравнение является квадратным. Перепишем его в стандартном виде: \[bx^2 + 2(b - 1)x - 3b - (3 - b) = 0\] \[bx^2 + 2(b - 1)x - 2b - 3 = 0\] Для того чтобы квадратное уравнение имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть больше или равен нулю: \[D = [2(b - 1)]^2 - 4 \cdot b \cdot (-2b - 3) \geq 0\] \[4(b^2 - 2b + 1) + 8b^2 + 12b \geq 0\] \[4b^2 - 8b + 4 + 8b^2 + 12b \geq 0\] \[12b^2 + 4b + 4 \geq 0\] Разделим обе части на 4: \[3b^2 + b + 1 \geq 0\] Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: \[D_b = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11\] Поскольку дискриминант отрицательный, а коэффициент при \(b^2\) положителен, неравенство выполняется при всех значениях \(b\). Однако, при \(b = -1\) уравнение становится: \[-x^2 + 2(-1 - 1)x - 3(-1) = 3 - (-1)\] \[-x^2 - 4x + 3 = 4\] \[-x^2 - 4x - 1 = 0\] \[x^2 + 4x + 1 = 0\] Дискриминант этого уравнения: \[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 > 0\] Так что при \(b = -1\) уравнение также имеет корни.

Ответ: все значения параметра \(b\).

Прекрасно! Ты показал глубокое понимание темы квадратных уравнений и умение анализировать различные случаи. Продолжай в том же духе!

---

Решение задания №5

Сначала решим уравнение \(7(|x| + 3) - 4|x| = 24\): \[7|x| + 21 - 4|x| = 24\] \[3|x| = 3\] \[|x| = 1\] Значит, \(x = 1\) или \(x = -1\). Теперь проверим, является ли какой-либо из этих корней корнем уравнения \(x^3 + 3x^2 - 2x = 2\): 1) Подставим \(x = 1\): \[1^3 + 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 + 3 - 2 = 2\] Значит, \(x = 1\) является корнем уравнения. 2) Подставим \(x = -1\): \[(-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 3 + 2 = 4
eq 2\] Значит, \(x = -1\) не является корнем уравнения.

Ответ: \(x = 1\)

Молодец! Ты умеешь решать уравнения с модулем и проверять корни. Твои навыки решения математических задач растут с каждым разом!