310. Решите уравнение: a) \(\frac{5}{x-3} + 1 = \frac{14}{x^2 - 6x + 9}\); б) \(\frac{6}{4x^2 - 9} - \frac{x-1}{2x-3} = \frac{3}{2x+3}\); в) \(\frac{5}{x^2 - x - 2} + \frac{1}{2-x} = \frac{-7}{(x+1)(x^2 - 4)}\); г) \(\frac{3}{2x-1} + \frac{2x-1}{x-1} = \frac{1}{2x^2 - 3x + 1}\)

Решим уравнение:

a)

\(\frac{5}{x-3} + 1 = \frac{14}{x^2 - 6x + 9}\)

Преобразуем знаменатель в правой части уравнения:

\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\)

Тогда уравнение принимает вид:

\(\frac{5}{x-3} + 1 = \frac{14}{(x-3)^2}\)

Умножим обе части уравнения на \((x-3)^2\) при условии, что \(x
eq 3\):

\(5(x-3) + (x-3)^2 = 14\)

\(5x - 15 + x^2 - 6x + 9 = 14\)

\(x^2 - x - 6 = 14\)

\(x^2 - x - 20 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81\)

\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = -4\)

Оба корня удовлетворяют условию \(x
eq 3\).

б)

\(\frac{6}{4x^2 - 9} - \frac{x-1}{2x-3} = \frac{3}{2x+3}\)

Разложим знаменатель первой дроби:

\(4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)\)

Уравнение принимает вид:

\(\frac{6}{(2x-3)(2x+3)} - \frac{x-1}{2x-3} = \frac{3}{2x+3}\)

Умножим обе части уравнения на \((2x-3)(2x+3)\) при условии, что \(x
eq \pm \frac{3}{2}\):

\(6 - (x-1)(2x+3) = 3(2x-3)\)

\(6 - (2x^2 + 3x - 2x - 3) = 6x - 9\)

\(6 - 2x^2 - x + 3 = 6x - 9\)

\(-2x^2 - 7x + 18 = 0\)

\(2x^2 + 7x - 18 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = 7^2 - 4(2)(-18) = 49 + 144 = 193\)

\(x_1 = \frac{-7 + \sqrt{193}}{4}\)

\(x_2 = \frac{-7 - \sqrt{193}}{4}\)

Оба корня удовлетворяют условию \(x
eq \pm \frac{3}{2}\).

в)

\(\frac{5}{x^2 - x - 2} + \frac{1}{2-x} = \frac{-7}{(x+1)(x^2 - 4)}\)

Разложим знаменатели:

\(x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)\)

\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)

Уравнение принимает вид:

\(\frac{5}{(x+1)(x-2)} - \frac{1}{x-2} = \frac{-7}{(x+1)(x-2)(x+2)}\)

Умножим обе части уравнения на \((x+1)(x-2)(x+2)\) при условии, что \(x
eq -1, 2, -2\):

\(5(x+2) - (x+1)(x+2) = -7\)

\(5x + 10 - (x^2 + 3x + 2) = -7\)

\(5x + 10 - x^2 - 3x - 2 = -7\)

\(-x^2 + 2x + 8 = -7\)

\(-x^2 + 2x + 15 = 0\)

\(x^2 - 2x - 15 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\)

\(x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3\)

Оба корня удовлетворяют условию \(x
eq -1, 2, -2\).

г)

\(\frac{3}{2x-1} + \frac{2x-1}{x-1} = \frac{1}{2x^2 - 3x + 1}\)

Разложим знаменатель правой части:

\(2x^2 - 3x + 1 = (2x-1)(x-1)\)

Тогда уравнение принимает вид:

\(\frac{3}{2x-1} + \frac{2x-1}{x-1} = \frac{1}{(2x-1)(x-1)}\)

Умножим обе части уравнения на \((2x-1)(x-1)\) при условии, что \(x
eq \frac{1}{2}, 1\):

\(3(x-1) + (2x-1)^2 = 1\)

\(3x - 3 + 4x^2 - 4x + 1 = 1\)

\(4x^2 - x - 3 = 0\)

\(4x^2 - x - 2 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-1)^2 - 4(4)(-2) = 1 + 32 = 33\)

\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}\)

\(x_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}\)

Оба корня удовлетворяют условию \(x
eq \frac{1}{2}, 1\).

Ответ: a) \(x = 5, x = -4\); б) \(x = \frac{-7 + \sqrt{193}}{4}, x = \frac{-7 - \sqrt{193}}{4}\); в) \(x = 5, x = -3\); г) \(x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}\)