690. Решите уравнение: a) \(\frac{x + 1}{6} + \frac{20}{x - 1} = 4;\) b) \(\frac{x + 15}{4} - \frac{21}{x + 2} = 2;\) в) \(\frac{12}{x - 1} - \frac{8}{x + 1} = 1;\) г) \(\frac{16}{x - 3} + \frac{30}{1 - x} = 3;\)

a) Решим уравнение: $$\frac{x + 1}{6} + \frac{20}{x - 1} = 4$$

1. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{(x + 1)(x - 1) + 20 \cdot 6}{6(x - 1)} = 4$$
2. Упростим числитель: $$\frac{x^2 - 1 + 120}{6(x - 1)} = 4$$ $$\frac{x^2 + 119}{6(x - 1)} = 4$$
3. Умножим обе части уравнения на $$6(x - 1)$$: $$x^2 + 119 = 24(x - 1)$$ $$x^2 + 119 = 24x - 24$$
4. Перенесем все члены в левую часть: $$x^2 - 24x + 143 = 0$$
5. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 143 = 576 - 572 = 4$$
6. Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{24 + \sqrt{4}}{2} = \frac{24 + 2}{2} = 13$$ $$x_2 = \frac{24 - \sqrt{4}}{2} = \frac{24 - 2}{2} = 11$$
7. Проверим корни на допустимость: $$x
   eq 1$$, оба корня подходят.

Ответ: x = 13, x = 11

б) Решим уравнение: $$\frac{x + 15}{4} - \frac{21}{x + 2} = 2$$

1. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{(x + 15)(x + 2) - 21 \cdot 4}{4(x + 2)} = 2$$
2. Упростим числитель: $$\frac{x^2 + 2x + 15x + 30 - 84}{4(x + 2)} = 2$$ $$\frac{x^2 + 17x - 54}{4(x + 2)} = 2$$
3. Умножим обе части уравнения на $$4(x + 2)$$: $$x^2 + 17x - 54 = 8(x + 2)$$ $$x^2 + 17x - 54 = 8x + 16$$
4. Перенесем все члены в левую часть: $$x^2 + 9x - 70 = 0$$
5. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361$$
6. Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{361}}{2} = \frac{-9 + 19}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{361}}{2} = \frac{-9 - 19}{2} = -14$$
7. Проверим корни на допустимость: $$x
   eq -2$$, оба корня подходят.

Ответ: x = 5, x = -14

в) Решим уравнение: $$\frac{12}{x - 1} - \frac{8}{x + 1} = 1$$

1. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{12(x + 1) - 8(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = 1$$
2. Упростим числитель: $$\frac{12x + 12 - 8x + 8}{x^2 - 1} = 1$$ $$\frac{4x + 20}{x^2 - 1} = 1$$
3. Умножим обе части уравнения на $$x^2 - 1$$: $$4x + 20 = x^2 - 1$$
4. Перенесем все члены в правую часть: $$x^2 - 4x - 21 = 0$$
5. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$
6. Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = -3$$
7. Проверим корни на допустимость: $$x
   eq 1, x
   eq -1$$, оба корня подходят.

Ответ: x = 7, x = -3

г) Решим уравнение: $$\frac{16}{x - 3} + \frac{30}{1 - x} = 3$$

1. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{16(1 - x) + 30(x - 3)}{(x - 3)(1 - x)} = 3$$
2. Упростим числитель: $$\frac{16 - 16x + 30x - 90}{x - x^2 - 3 + 3x} = 3$$ $$\frac{14x - 74}{-x^2 + 4x - 3} = 3$$
3. Умножим обе части уравнения на $$-x^2 + 4x - 3$$: $$14x - 74 = 3(-x^2 + 4x - 3)$$ $$14x - 74 = -3x^2 + 12x - 9$$
4. Перенесем все члены в левую часть: $$3x^2 + 2x - 65 = 0$$
5. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-65) = 4 + 780 = 784$$
6. Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{784}}{6} = \frac{-2 + 28}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{784}}{6} = \frac{-2 - 28}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$
7. Проверим корни на допустимость: $$x
   eq 3, x
   eq 1$$, оба корня подходят.

Ответ: $$x = \frac{13}{3}$$, x = -5