1. Решите уравнение: a) \(\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\); б) \(\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\). 2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

1. Решите уравнение:

а) \(\frac{3x+4}{x^2-16} = \frac{x^2}{x^2-16}\)

Давай решим это уравнение. Заметим, что знаменатели обеих дробей одинаковы, поэтому можем приравнять числители при условии, что знаменатель не равен нулю:

\[x^2 - 16
eq 0 \Rightarrow x
eq \pm 4\]

Теперь приравняем числители:

\[3x + 4 = x^2\]

Преобразуем уравнение к виду квадратного:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Воспользуемся теоремой Виета:

\[x_1 + x_2 = 3\] \[x_1 \cdot x_2 = -4\]

Подходят корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\). Однако, нужно учесть, что \(x
eq \pm 4\), поэтому \(x = 4\) не является решением.

Таким образом, единственное решение:

\[x = -1\]

б) \(\frac{3}{x-5} + \frac{8}{x} = 2\)

Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ):

\[x
eq 5, x
eq 0\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{3x + 8(x-5)}{x(x-5)} = 2\] \[\frac{3x + 8x - 40}{x^2 - 5x} = 2\] \[\frac{11x - 40}{x^2 - 5x} = 2\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 5x\):

\[11x - 40 = 2(x^2 - 5x)\] \[11x - 40 = 2x^2 - 10x\]

Перенесем все в правую часть:

\[2x^2 - 21x + 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40 = 441 - 320 = 121\] \[x_1 = \frac{21 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 + 11}{4} = \frac{32}{4} = 8\] \[x_2 = \frac{21 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{21 - 11}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, решения:

\[x_1 = 8, x_2 = 2.5\]

2. Задача про катер

Пусть \(v\) - собственная скорость катера. Тогда скорость катера против течения равна \(v - 3\), а по течению \(v + 3\). Время, затраченное на путь против течения, равно \(\frac{12}{v-3}\), а по течению - \(\frac{5}{v+3}\). Общее время равно \(\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3}\).

Время, затраченное на путь по озеру, равно \(\frac{18}{v}\).

По условию задачи:

\[\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}\] \[\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\] \[\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\]

Перемножим крест-накрест:

\[v(17v + 21) = 18(v^2 - 9)\] \[17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\] \[v^2 - 21v - 162 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 = 33^2\] \[v_1 = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\] \[v_2 = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v = 27\) км/ч.

Ответ: x = -1; x = 8, x = 2.5; v = 27 км/ч

Отличная работа! Ты хорошо справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!