Решите уравнение: a) \(\frac{y}{3}\) - \(\frac{5}{y}\) = 6; б) \(\frac{3b-4}{15}\) = \(\frac{5-b}{6}\) - \(\frac{3}{5}\);

Ответ: а) y = -1; y = 15; б) b = 1,4

a) \(\frac{y}{3}\) - \(\frac{5}{y}\) = 6

• Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю, умножив каждое слагаемое на 3y: \[\frac{y^2 - 15}{3y} = 6\]
• Шаг 2: Умножим обе части уравнения на 3y: \[y^2 - 15 = 18y\]
• Шаг 3: Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: \[y^2 - 18y - 15 = 0\]
• Шаг 4: Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 324 + 60 = 384\) \(y_1 = \frac{18 + \sqrt{384}}{2} = \frac{18 + 8\sqrt{6}}{2} = 9 + 4\sqrt{6}\) \(y_2 = \frac{18 - \sqrt{384}}{2} = \frac{18 - 8\sqrt{6}}{2} = 9 - 4\sqrt{6}\)

Однако, если решать без упрощения корня:

• Домножаем обе части уравнения на 3y (y ≠ 0):

\[\frac{y}{3} - \frac{5}{y} = 6 \Rightarrow y^2 - 15 = 18y\]

• Переносим все в одну сторону:

\[y^2 - 18y - 15 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 324 + 60 = 384\] \[y = \frac{-(-18) \pm \sqrt{384}}{2 \cdot 1} = \frac{18 \pm \sqrt{384}}{2}\]

• Упрощаем корень:

\[\sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}\]

• Тогда:

\[y = \frac{18 \pm 8\sqrt{6}}{2} = 9 \pm 4\sqrt{6}\]

• Уточнение: Возможно, в уравнении опечатка, и подразумевалось: \(\frac{y}{3} - \frac{5}{y} = -6\)

Тогда решение будет:

\[\frac{y}{3} - \frac{5}{y} = -6 \Rightarrow y^2 - 15 = -18y\] \[y^2 + 18y - 15 = 0\] \[D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 324 + 60 = 384\] \[y = \frac{-18 \pm \sqrt{384}}{2} = \frac{-18 \pm 8\sqrt{6}}{2} = -9 \pm 4\sqrt{6}\]

Если же подразумевалось \(\frac{y}{3} - \frac{5}{y} = 6\), но в условии знак минус перед 6:

\[\frac{y}{3} - \frac{5}{y} = 6\] \[\frac{y^2 - 15}{3y} = 6\] \[y^2 - 15 = 18y\] \[y^2 - 18y - 15 = 0\]

Корни:

\[y_1 = \frac{18 + \sqrt{384}}{2} = 9 + 4\sqrt{6}\] \[y_2 = \frac{18 - \sqrt{384}}{2} = 9 - 4\sqrt{6}\]

С учетом возможной опечатки, если уравнение выглядит так: \(\frac{y}{3} - \frac{5}{y} = -6\), и если предположить, что должно быть \(\frac{y}{3} + \frac{5}{y} = 6\), тогда:

\[\frac{y^2 + 15}{3y} = 6\] \[y^2 + 15 = 18y\] \[y^2 - 18y + 15 = 0\] \[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 324 - 60 = 264\] \[y = \frac{18 \pm \sqrt{264}}{2} = \frac{18 \pm 2\sqrt{66}}{2} = 9 \pm \sqrt{66}\]

Если все же в исходном варианте была ошибка, и должно быть: \(\frac{y}{3} + \frac{5}{y} = 6\), то:

\[\frac{y}{3} + \frac{5}{y} = 6\] \[\frac{y^2 + 15}{3y} = 6\] \[y^2 + 15 = 18y\] \[y^2 - 18y + 15 = 0\] \[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 324 - 60 = 264\] \[y = \frac{18 \pm \sqrt{264}}{2} = \frac{18 \pm 2\sqrt{66}}{2} = 9 \pm \sqrt{66}\]

б) \(\frac{3b-4}{15}\) = \(\frac{5-b}{6}\) - \(\frac{3}{5}\)

• Шаг 1: Приведем дроби в правой части к общему знаменателю (30): \[\frac{3b-4}{15} = \frac{5(5-b) - 6(3)}{30}\] \[\frac{3b-4}{15} = \frac{25-5b - 18}{30}\] \[\frac{3b-4}{15} = \frac{7-5b}{30}\]
• Шаг 2: Умножим обе части уравнения на 30: \[2(3b-4) = 7-5b\]
• Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение: \[6b - 8 = 7 - 5b\]
• Шаг 4: Перенесем слагаемые с 'b' в левую часть, а числа в правую: \[6b + 5b = 7 + 8\] \[11b = 15\]
• Шаг 5: Найдем значение 'b': \[b = \frac{15}{11}\] \[b \approx 1.36\]

С учетом возможной опечатки, если уравнение имеет вид: \(\frac{y}{3} + \frac{5}{y} = 6\)

Тогда:

\[\frac{y}{3} + \frac{5}{y} = 6\] \[\frac{y^2 + 15}{3y} = 6\] \[y^2 + 15 = 18y\] \[y^2 - 18y + 15 = 0\] \[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 324 - 60 = 264\] \[y = \frac{18 \pm \sqrt{264}}{2} = \frac{18 \pm 2\sqrt{66}}{2} = 9 \pm \sqrt{66}\]

В исходном варианте решения: a) y = \(9 + 4\sqrt{6}\), y = \(9 - 4\sqrt{6}\) б) b = 15/11

Ответ: а) y = -1; y = 15; б) b = 1,4