Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2. Решите уравнение: a) 27.\cdot(\frac{4}{9})^x - 30.\cdot(\frac{2}{3})^x + 8 = 0; б) log 3 x + 4 logg x + 6log27 x = 10. 3. Решите неравенство: a) (\frac{1}{2})^{x+2} +3\cdot(\frac{1}{2})^{x+1} - (\frac{1}{2})^x < 3; б) (log 3 x)² + 2 log 3 x − 3 ≤ 0.
Ответ:
2. Решите уравнение:
а) 27⋅(4⁄9)x - 30⋅(2⁄3)x + 8 = 0;
Давай разберем по порядку: Пусть \((\frac{2}{3})^x = t\), тогда \((\frac{4}{9})^x = t^2\). Уравнение примет вид: \[27t^2 - 30t + 8 = 0\] Решим квадратное уравнение: \(D = (-30)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 8 = 900 - 864 = 36\) \(t_1 = \frac{30 + \sqrt{36}}{2 \cdot 27} = \frac{30 + 6}{54} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}\) \(t_2 = \frac{30 - \sqrt{36}}{2 \cdot 27} = \frac{30 - 6}{54} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9}\) Теперь решим уравнения: 1) \((\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3}\) \(x = 1\) 2) \((\frac{2}{3})^x = \frac{4}{9}\) \((\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^2\) \(x = 2\)Ответ: x = 1, x = 2
б) log3 x + 4 log9 x + 6log27 x = 10.
Преобразуем логарифмы, используя свойство \(log_{a^b} c = \frac{1}{b} log_a c\): \[log_3 x + 4 \cdot \frac{1}{2} log_3 x + 6 \cdot \frac{1}{3} log_3 x = 10\] \[log_3 x + 2 log_3 x + 2 log_3 x = 10\] \[5 log_3 x = 10\] \[log_3 x = 2\] \[x = 3^2\] \[x = 9\]Ответ: x = 9
3. Решите неравенство:
а) (1⁄2)x+2 + 3⋅(1⁄2)x+1 - (1⁄2)x < 3;
Вынесем общий множитель (1⁄2)x за скобки: \[(\frac{1}{2})^x ((\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2})^1 - 1) < 3\] \[(\frac{1}{2})^x (\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 1) < 3\] \[(\frac{1}{2})^x (\frac{1 + 6 - 4}{4}) < 3\] \[(\frac{1}{2})^x (\frac{3}{4}) < 3\] \[(\frac{1}{2})^x < 4\] \[(\frac{1}{2})^x < (\frac{1}{2})^{-2}\] Так как основание степени (1⁄2) меньше 1, знак неравенства меняется на противоположный: \[x > -2\]Ответ: x > -2
б) (log3 x)² + 2 log3 x − 3 ≤ 0.
Пусть \(log_3 x = t\), тогда неравенство примет вид: \[t^2 + 2t - 3 \le 0\] Найдем корни квадратного уравнения: \(t^2 + 2t - 3 = 0\) \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\) \(t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\) \(t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\) Неравенство можно переписать как: \[(t - 1)(t + 3) \le 0\] Решением этого неравенства является интервал: \[-3 \le t \le 1\] Теперь вернемся к переменной x: \[-3 \le log_3 x \le 1\] \[3^{-3} \le x \le 3^1\] \[\frac{1}{27} \le x \le 3\]Ответ: 1⁄27 ≤ x ≤ 3
Отлично! Ты хорошо поработал над этими уравнениями и неравенствами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Всегда можно вернуться к этим решениям, если что-то забудется. Удачи в дальнейших занятиях!