3.161 Решите уравнение: a) 3\frac{2}{3}: a = 4\frac{8}{9}:1\frac{5}{7}; б) 1\frac{7}{8}:2\frac{1}{3}=3\frac{3}{4}:b; в) 8\frac{1}{4}:c=13\frac{3}{4}:2\frac{1}{3}; г) 5\frac{2}{3}:2\frac{5}{6}=2\frac{1}{7}:d.

a) Решим уравнение: $$3\frac{2}{3}: a = 4\frac{8}{9}:1\frac{5}{7}$$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$$

$$4\frac{8}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{44}{9}$$

$$1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$$

Получаем уравнение: $$\frac{11}{3}: a = \frac{44}{9}:\frac{12}{7}$$.

Выразим a:

$$a = \frac{11}{3} : (\frac{44}{9}:\frac{12}{7})$$

Выполним деление в скобках:

$$\frac{44}{9}:\frac{12}{7} = \frac{44}{9} \cdot \frac{7}{12} = \frac{44 \cdot 7}{9 \cdot 12} = \frac{11 \cdot 7}{9 \cdot 3} = \frac{77}{27}$$

Теперь найдем a:

$$a = \frac{11}{3} : \frac{77}{27} = \frac{11}{3} \cdot \frac{27}{77} = \frac{11 \cdot 27}{3 \cdot 77} = \frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 7} = \frac{9}{7}$$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$a = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$$

Ответ: $$a = 1\frac{2}{7}$$

б) Решим уравнение: $$1\frac{7}{8}:2\frac{1}{3}=3\frac{3}{4}:b$$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$$

$$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$

$$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$$

Получаем уравнение: $$\frac{15}{8}:\frac{7}{3}=\frac{15}{4}:b$$.

Выразим b:

$$b = \frac{15}{4} : (\frac{15}{8}:\frac{7}{3})$$

Выполним деление в скобках:

$$\frac{15}{8}:\frac{7}{3} = \frac{15}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15 \cdot 3}{8 \cdot 7} = \frac{45}{56}$$

Теперь найдем b:

$$b = \frac{15}{4} : \frac{45}{56} = \frac{15}{4} \cdot \frac{56}{45} = \frac{15 \cdot 56}{4 \cdot 45} = \frac{1 \cdot 14}{1 \cdot 3} = \frac{14}{3}$$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$b = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$$

Ответ: $$b = 4\frac{2}{3}$$

в) Решим уравнение: $$8\frac{1}{4}:c=13\frac{3}{4}:2\frac{1}{3}$$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$8\frac{1}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{33}{4}$$

$$13\frac{3}{4} = \frac{13 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{55}{4}$$

$$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$

Получаем уравнение: $$\frac{33}{4}:c=\frac{55}{4}:\frac{7}{3}$$.

Выразим c:

$$c = \frac{33}{4} : (\frac{55}{4}:\frac{7}{3})$$

Выполним деление в скобках:

$$\frac{55}{4}:\frac{7}{3} = \frac{55}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{55 \cdot 3}{4 \cdot 7} = \frac{165}{28}$$

Теперь найдем c:

$$c = \frac{33}{4} : \frac{165}{28} = \frac{33}{4} \cdot \frac{28}{165} = \frac{33 \cdot 28}{4 \cdot 165} = \frac{11 \cdot 7}{1 \cdot 55} = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 5} = \frac{7}{5}$$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$c = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$$

Ответ: $$c = 1\frac{2}{5}$$

г) Решим уравнение: $$5\frac{2}{3}:2\frac{5}{6}=2\frac{1}{7}:d$$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$$

$$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$$

$$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$$

Получаем уравнение: $$\frac{17}{3}:\frac{17}{6}=\frac{15}{7}:d$$.

Выразим d:

$$d = \frac{15}{7} : (\frac{17}{3}:\frac{17}{6})$$

Выполним деление в скобках:

$$\frac{17}{3}:\frac{17}{6} = \frac{17}{3} \cdot \frac{6}{17} = \frac{17 \cdot 6}{3 \cdot 17} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 2$$

Теперь найдем d:

$$d = \frac{15}{7} : 2 = \frac{15}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{14}$$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$d = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14}$$

Ответ: $$d = 1\frac{1}{14}$$