1. Решите уравнение: a) \frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}; б) \frac{8}{x-3} + \frac{10}{x} = 2. 2. Катер прошел 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение задания 1a:

Давай решим уравнение \(\frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}\). Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), чтобы исключить деление на ноль.

Знаменатель \(x^2 - 4\) не должен быть равен нулю. Значит, \(x^2 - 4 ≠ 0\), откуда \(x ≠ ±2\).

Теперь, когда мы определили ОДЗ, можем умножить обе части уравнения на \(x^2 - 4\), предполагая, что \(x ≠ ±2\):

\[5x + 14 = x^2\]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - 5x - 14 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. В данном случае, корни легко подбираются:

Сумма корней должна быть равна 5, а произведение -14. Это числа 7 и -2.

Итак, \(x_1 = 7\) и \(x_2 = -2\).

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ. Мы знаем, что \(x ≠ ±2\). Корень \(x_1 = 7\) удовлетворяет ОДЗ, а корень \(x_2 = -2\) не удовлетворяет.

Следовательно, единственным решением уравнения является \(x = 7\).

Ответ: x = 7

---

Решение задания 1б:

Давай решим уравнение \(\frac{8}{x-3} + \frac{10}{x} = 2\). Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), чтобы исключить деление на ноль.

Знаменатель \(x-3\) и \(x\) не должны быть равны нулю. Значит, \(x ≠ 3\) и \(x ≠ 0\).

Теперь, когда мы определили ОДЗ, приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

\[\frac{8x + 10(x-3)}{x(x-3)} = 2\] \[\frac{8x + 10x - 30}{x^2 - 3x} = 2\] \[\frac{18x - 30}{x^2 - 3x} = 2\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 3x\), предполагая, что \(x ≠ 3\) и \(x ≠ 0\):

\[18x - 30 = 2(x^2 - 3x)\] \[18x - 30 = 2x^2 - 6x\]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[2x^2 - 24x + 30 = 0\]

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

\[x^2 - 12x + 15 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 144 - 60 = 84\] \[x = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 ± \sqrt{84}}{2} = \frac{12 ± 2\sqrt{21}}{2} = 6 ± \sqrt{21}\]

Итак, \(x_1 = 6 + \sqrt{21}\) и \(x_2 = 6 - \sqrt{21}\).

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ. Мы знаем, что \(x ≠ 3\) и \(x ≠ 0\). Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Следовательно, решения уравнения:

\[x_1 = 6 + \sqrt{21} \approx 10.58\] \[x_2 = 6 - \sqrt{21} \approx 1.42\]

Ответ: \(x_1 = 6 + \sqrt{21}\) и \(x_2 = 6 - \sqrt{21}\)

---

Решение задания 2:

Пусть собственная скорость катера равна \(v\) км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Время, затраченное на путь против течения, составляет \(\frac{15}{v-2}\) часов.

Время, затраченное на путь по течению, составляет \(\frac{6}{v+2}\) часов.

Время, затраченное на весь путь (против и по течению), составляет \(\frac{15}{v-2} + \frac{6}{v+2}\) часов.

Время, затраченное на путь по озеру, составляет \(\frac{22}{v}\) часов.

Согласно условию задачи, время, затраченное на путь против и по течению, равно времени, затраченному на путь по озеру:

\[\frac{15}{v-2} + \frac{6}{v+2} = \frac{22}{v}\]

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:

\[\frac{15(v+2) + 6(v-2)}{(v-2)(v+2)} = \frac{22}{v}\] \[\frac{15v + 30 + 6v - 12}{v^2 - 4} = \frac{22}{v}\] \[\frac{21v + 18}{v^2 - 4} = \frac{22}{v}\]

Умножим обе части уравнения на \(v(v^2 - 4)\), предполагая, что \(v ≠ 0\) и \(v ≠ ±2\):

\[v(21v + 18) = 22(v^2 - 4)\] \[21v^2 + 18v = 22v^2 - 88\]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[v^2 - 18v - 88 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 324 + 352 = 676\] \[v = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 ± \sqrt{676}}{2} = \frac{18 ± 26}{2}\]

Итак, \(v_1 = \frac{18 + 26}{2} = \frac{44}{2} = 22\) и \(v_2 = \frac{18 - 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна 22 км/ч.

Ответ: 22 км/ч

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!