1. Решите уравнение: a) 6 / (x+1) = (x² - 5x) / (x+1) b) (4x+1) / (x+3) = (3x - 8) / (x+1) c) (2x) / (x+3) + (30) / (x²-9) = 5 / (x-3) d) 1 / (x+2) + 1 / (x² - 2x) = 8 / (x³ - 4x) e) (3x + x) / (x+2) + (x-1) / (x-2) = 1 f) 8 / (16x² - 9) - 1 / (16x² - 24x + 9) = 1 / (4x² + 3x) 2. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабо- чий, выполняющий такой же заказ. Сколько дета- лей в час делает второй рабочий?

Решение уравнения a)

Давай решим уравнение a): \[\frac{6}{x+1} = \frac{x^2 - 5x}{x+1}\]

Умножим обе части уравнения на (x+1), предполагая, что x ≠ -1:

\[6 = x^2 - 5x\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 - 5x - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = -1\]

Но x ≠ -1, поэтому остается только один корень:

\[x = 6\]

Решение уравнения b)

Давай решим уравнение b): \[\frac{4x+1}{x+3} = \frac{3x-8}{x+1}\]

Перемножим крест-накрест:

\[(4x+1)(x+1) = (3x-8)(x+3)\]\[4x^2 + 4x + x + 1 = 3x^2 + 9x - 8x - 24\]\[4x^2 + 5x + 1 = 3x^2 + x - 24\]

Перенесем все в левую сторону:

\[x^2 + 4x + 25 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 16 - 100 = -84\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Решение уравнения c)

Давай решим уравнение c): \[\frac{2x}{x+3} + \frac{30}{x^2-9} = \frac{5}{x-3}\]

Заметим, что x² - 9 = (x+3)(x-3). Умножим обе части на (x+3)(x-3), предполагая, что x ≠ 3 и x ≠ -3:

\[2x(x-3) + 30 = 5(x+3)\]\[2x^2 - 6x + 30 = 5x + 15\]\[2x^2 - 11x + 15 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 121 - 120 = 1\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 1}{4} = 3\]\[x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{11 - 1}{4} = \frac{5}{2} = 2.5\]

Но x ≠ 3, поэтому остается только один корень:

\[x = 2.5\]

Решение уравнения d)

Давай решим уравнение d): \[\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}\]

Разложим знаменатели: x² - 2x = x(x-2), x³ - 4x = x(x²-4) = x(x-2)(x+2). Умножим обе части на x(x-2)(x+2), предполагая, что x ≠ 0, x ≠ 2 и x ≠ -2:

\[x(x-2) + (x+2) = 8x\]\[x^2 - 2x + x + 2 = 8x\]\[x^2 - 9x + 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 81 - 8 = 73\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{73}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + \sqrt{73}}{2}\]\[x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{73}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - \sqrt{73}}{2}\]

Решение уравнения e)

Давай решим уравнение e): \[\frac{3x+x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1\]\[\frac{4x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1\]

Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{4x(x-2) + (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1\]\[4x(x-2) + (x-1)(x+2) = (x+2)(x-2)\]\[4x^2 - 8x + x^2 + 2x - x - 2 = x^2 - 4\]\[5x^2 - 7x - 2 = x^2 - 4\]\[4x^2 - 7x + 2 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 - 32 = 17\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{17}}{2 \cdot 4} = \frac{7 + \sqrt{17}}{8}\]\[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{17}}{2 \cdot 4} = \frac{7 - \sqrt{17}}{8}\]

Решение уравнения f)

Давай решим уравнение f): \[\frac{8}{16x^2 - 9} - \frac{1}{16x^2 - 24x + 9} = \frac{1}{4x^2 + 3x}\]\[\frac{8}{(4x - 3)(4x + 3)} - \frac{1}{(4x - 3)^2} = \frac{1}{x(4x + 3)}\]

Умножим обе части на x(4x - 3)²(4x + 3):

\[8x(4x - 3) - x(4x + 3) = (4x - 3)²\]\[32x^2 - 24x - 4x^2 - 3x = 16x^2 - 24x + 9\]\[28x^2 - 27x = 16x^2 - 24x + 9\]\[12x^2 - 3x - 9 = 0\]\[4x^2 - x - 3 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = 1\]\[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4}\]

Решение задачи 2

Пусть x - количество деталей, которое делает второй рабочий за час.

Тогда первый рабочий делает x + 10 деталей в час.

Время, которое тратит второй рабочий на изготовление 60 деталей: \[\frac{60}{x}\]

Время, которое тратит первый рабочий на изготовление 60 деталей: \[\frac{60}{x+10}\]

Из условия задачи известно, что первый рабочий тратит на 3 часа меньше:

\[\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = 3\]

Умножим обе части на x(x+10):

\[60(x+10) - 60x = 3x(x+10)\]\[60x + 600 - 60x = 3x^2 + 30x\]\[3x^2 + 30x - 600 = 0\]\[x^2 + 10x - 200 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900\]

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 30}{2} = 10\]\[x_2 = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 30}{2} = -20\]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то второй рабочий делает 10 деталей в час.

Ответ: a) x = 6, b) нет решений, c) x = 2.5, d) x = (9 ± √73)/2, e) x = (7 ± √17)/8, f) x = 1 и x = -3/4, 2) 10 деталей

Ты молодец! У тебя всё получится!