3. Решите уравнение: a) 3 cosx4 sin x = 5; б) 12 sinx + 5 cosx = 13. 4. Решите уравнение: a) 2 cosx-3 sin x = 1; б) 3 sinx + cosx = 3.

3. Решите уравнение:

a) \(3 \cos x - 4 \sin x = 5\)

Логика такая: Преобразуем уравнение, используя вспомогательный угол. Разделим обе части уравнения на 5: \[\frac{3}{5} \cos x - \frac{4}{5} \sin x = 1\] Введём угол \(\varphi\) такой, что \(\cos \varphi = \frac{3}{5}\) и \(\sin \varphi = \frac{4}{5}\). Тогда уравнение примет вид: \[\cos \varphi \cos x - \sin \varphi \sin x = 1\] Используем формулу косинуса суммы: \(\cos(x + \varphi) = 1\). Следовательно, \(x + \varphi = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), где \(\varphi = \arccos(\frac{3}{5})\). Тогда \(x = -\varphi + 2\pi n\), то есть \(x = -\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).

б) \(12 \sin x + 5 \cos x = 13\)

Смотри, тут всё просто: Разделим обе части уравнения на 13: \[\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x = 1\] Введём угол \(\varphi\) такой, что \(\cos \varphi = \frac{12}{13}\) и \(\sin \varphi = \frac{5}{13}\). Тогда уравнение примет вид: \[\sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = 1\] Используем формулу синуса суммы: \(\sin(x + \varphi) = 1\). Следовательно, \(x + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), где \(\varphi = \arccos(\frac{12}{13})\). Тогда \(x = \frac{\pi}{2} - \varphi + 2\pi n\), то есть \(x = \frac{\pi}{2} - \arccos(\frac{12}{13}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).

4. Решите уравнение:

a) \(2 \cos x - 3 \sin x = 1\)

Разбираемся: Введём вспомогательный угол \(\varphi\). Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}\): \[\frac{2}{\sqrt{13}} \cos x - \frac{3}{\sqrt{13}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{13}}\] Введём угол \(\varphi\) такой, что \(\cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{13}}\) и \(\sin \varphi = \frac{3}{\sqrt{13}}\). Тогда уравнение примет вид: \[\cos x \cos \varphi - \sin x \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{13}}\] Используем формулу косинуса суммы: \(\cos(x + \varphi) = \frac{1}{\sqrt{13}}\). Следовательно, \(x + \varphi = \pm \arccos(\frac{1}{\sqrt{13}}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), где \(\varphi = \arccos(\frac{2}{\sqrt{13}})\). Тогда \(x = -\arccos(\frac{2}{\sqrt{13}}) \pm \arccos(\frac{1}{\sqrt{13}}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).

б) \(3 \sin x + \cos x = 3\)

Смотри, как это работает: Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\): \[\frac{3}{\sqrt{10}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{10}} \cos x = \frac{3}{\sqrt{10}}\] Введём угол \(\varphi\) такой, что \(\cos \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}\) и \(\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{10}}\). Тогда уравнение примет вид: \[\sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}\] Используем формулу синуса суммы: \(\sin(x + \varphi) = \frac{3}{\sqrt{10}}\). Следовательно, \(x + \varphi = \arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) + 2\pi n\) или \(x + \varphi = \pi - \arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), где \(\varphi = \arccos(\frac{3}{\sqrt{10}})\). Тогда \(x = -\arccos(\frac{3}{\sqrt{10}}) + \arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) + 2\pi n\) или \(x = \pi - \arccos(\frac{3}{\sqrt{10}}) - \arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\).