2. Решите уравнение: a) 3 sin²x + 7 cos x − 3 = 0; б) sin²x - cos x sin x = 0.

a) 3 sin²x + 7 cos x − 3 = 0

Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1, чтобы выразить sin²x через cos²x.

• Заменим sin²x на (1 - cos²x):

3(1 - cos²x) + 7 cos x - 3 = 0

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим уравнение.

• Раскрываем скобки:

3 - 3cos²x + 7cos x - 3 = 0

• Упрощаем:

-3cos²x + 7cos x = 0

Шаг 3: Введем замену переменной. Пусть y = cos x.

-3y² + 7y = 0

Шаг 4: Решим квадратное уравнение относительно y.

• Выносим y за скобки:

y(-3y + 7) = 0

• Получаем два возможных значения для y:

y = 0 или -3y + 7 = 0

y = 0 или y = 7/3

Шаг 5: Вернемся к переменной x и решим тригонометрические уравнения.

• cos x = 0

x = π/2 + πk, где k ∈ Z

• cos x = 7/3 (не имеет решений, так как |cos x| ≤ 1)

Ответ: x = π/2 + πk, где k ∈ Z

б) sin²x - cos x sin x = 0

Шаг 1: Вынесем sin x за скобки.

sin x (sin x - cos x) = 0

Шаг 2: Решим уравнение, приравняв каждый множитель к нулю.

• sin x = 0

x = πk, где k ∈ Z

• sin x - cos x = 0

sin x = cos x

Шаг 3: Разделим обе части уравнения на cos x (при условии, что cos x ≠ 0).

tg x = 1

x = π/4 + πk, где k ∈ Z

Ответ: x = πk, x = π/4 + πk, где k ∈ Z