Решите уравнение: a) x+1/x³-3x²+x-3 + 1/x⁴-1 = x-2/x³-3x²-x+3 ; б) 25/4x²+1 - 8x+29/16x⁴-1 = 18x+5/8x³+4x²+2x+1 ;

Решение:

а)

• Исходное уравнение: \[ \frac{x+1}{x^3 - 3x^2 + x - 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x-2}{x^3 - 3x^2 - x + 3} \]
• Разложим знаменатели на множители:
  • \( x^3 - 3x^2 + x - 3 = x^2(x - 3) + (x - 3) = (x^2 + 1)(x - 3) \)
  • \( x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) \)
  • \( x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2(x - 3) - (x - 3) = (x^2 - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 3) \)
• Перепишем уравнение с учетом разложения: \[ \frac{x+1}{(x^2+1)(x-3)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = \frac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)} \]
• Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{(x+1)(x-1)(x+1)}{(x^2+1)(x-3)(x-1)(x+1)} + \frac{x-3}{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x-3)} = \frac{(x-2)(x^2+1)}{(x-1)(x+1)(x-3)(x^2+1)} \]
• Упростим числители: \[ \frac{(x+1)^2(x-1) + (x-3)}{(x^2+1)(x-3)(x-1)(x+1)} = \frac{(x-2)(x^2+1)}{(x-1)(x+1)(x-3)(x^2+1)} \]
• Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, исключив его из рассмотрения: \[ (x+1)^2(x-1) + (x-3) = (x-2)(x^2+1) \]
• Раскроем скобки: \[ (x^2 + 2x + 1)(x-1) + x - 3 = x^3 - 2x^2 + x - 2 \] \[ x^3 + 2x^2 + x - x^2 - 2x - 1 + x - 3 = x^3 - 2x^2 + x - 2 \] \[ x^3 + x^2 - 1 - 3 = x^3 - 2x^2 - 2 \] \[ x^3 + x^2 - 4 = x^3 - 2x^2 + x - 2 \]
• Приведем подобные слагаемые: \[ 3x^2 - x - 2 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение:
  • Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \)
  • Корни: \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = 1 \), \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{2}{3} \)
• Проверим корни на допустимость (исключаем корни, при которых знаменатель равен нулю).

Ответ: x= -2/3

Ответ: x= 7/8, x= -7/8