719 Решите уравнение: a) (x² + 6x)² - 4(x² + 6x + 1) - 17 = 0; б) (x² + x)² - 5(x² + x - 4) = -6; в) x(x - 2)(x - 3)(x - 5) = 72; г) (x + 2)(x - 3)(x - 6)(x - 1) = -56.

а) $$(x^2 + 6x)^2 - 4(x^2 + 6x + 1) - 17 = 0$$

Пусть $$t = x^2 + 6x$$, тогда уравнение принимает вид:

$$t^2 - 4(t + 1) - 17 = 0$$ $$t^2 - 4t - 4 - 17 = 0$$ $$t^2 - 4t - 21 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$$ $$t_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7$$ $$t_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = -3$$

Вернёмся к замене:

$$x^2 + 6x = 7$$ или $$x^2 + 6x = -3$$

Решим первое уравнение:

$$x^2 + 6x - 7 = 0$$ $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 + 6x + 3 = 0$$ $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$$ $$x_3 = \frac{-6 + \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{6}}{2} = -3 + \sqrt{6}$$ $$x_4 = \frac{-6 - \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{6}}{2} = -3 - \sqrt{6}$$

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = -7$$, $$x_3 = -3 + \sqrt{6}$$, $$x_4 = -3 - \sqrt{6}$$

б) $$(x^2 + x)^2 - 5(x^2 + x - 4) = -6$$

Пусть $$t = x^2 + x$$, тогда уравнение принимает вид:

$$t^2 - 5(t - 4) = -6$$ $$t^2 - 5t + 20 = -6$$ $$t^2 - 5t + 26 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 25 - 104 = -79$$

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

в) $$x(x - 2)(x - 3)(x - 5) = 72$$

Преобразуем левую часть:

$$(x(x - 5))((x - 2)(x - 3)) = 72$$ $$(x^2 - 5x)(x^2 - 5x + 6) = 72$$

Пусть $$t = x^2 - 5x$$, тогда уравнение принимает вид:

$$t(t + 6) = 72$$ $$t^2 + 6t - 72 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324$$ $$t_1 = \frac{-6 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 + 18}{2} = 6$$ $$t_2 = \frac{-6 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-6 - 18}{2} = -12$$

Вернёмся к замене:

$$x^2 - 5x = 6$$ или $$x^2 - 5x = -12$$

Решим первое уравнение:

$$x^2 - 5x - 6 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 - 5x + 12 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 - 48 = -23$$

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $$x_1 = 6$$, $$x_2 = -1$$

г) $$(x + 2)(x - 3)(x - 6)(x - 1) = -56$$

Преобразуем левую часть:

$$((x + 2)(x - 6))((x - 3)(x - 1)) = -56$$ $$(x^2 - 4x - 12)(x^2 - 4x + 3) = -56$$

Пусть $$t = x^2 - 4x$$, тогда уравнение принимает вид:

$$(t - 12)(t + 3) = -56$$ $$t^2 - 9t - 36 = -56$$ $$t^2 - 9t + 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$$ $$t_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5$$ $$t_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

Вернёмся к замене:

$$x^2 - 4x = 5$$ или $$x^2 - 4x = 4$$

Решим первое уравнение:

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$$

Решим второе уравнение:

$$x^2 - 4x - 4 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$$ $$x_3 = \frac{4 + \sqrt{32}}{2} = \frac{4 + 4\sqrt{2}}{2} = 2 + 2\sqrt{2}$$ $$x_4 = \frac{4 - \sqrt{32}}{2} = \frac{4 - 4\sqrt{2}}{2} = 2 - 2\sqrt{2}$$

Ответ: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -1$$, $$x_3 = 2 + 2\sqrt{2}$$, $$x_4 = 2 - 2\sqrt{2}$$