Решите уравнение: a) x² + x – 42 = 0; 6) -5x² + 23x + 10 = 0; в) 7х2 + x + 1 = 0; г) 16х2 + 8x + 1 = 0. Решите уравнение: a) x / (20-x) = 1 / x; 6) (2x) / (x-1) + 3 / (x + 1) = (3x + 1) / (x²-1)

Решение уравнений:

а) x² + x – 42 = 0

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac

В данном случае a = 1, b = 1, c = -42

D = 1² - 4 * 1 * (-42) = 1 + 168 = 169

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √169) / (2 * 1) = (-1 + 13) / 2 = 12 / 2 = 6

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √169) / (2 * 1) = (-1 - 13) / 2 = -14 / 2 = -7

Ответ: x₁ = 6, x₂ = -7

б) -5x² + 23x + 10 = 0

a = -5, b = 23, c = 10

D = 23² - 4 * (-5) * 10 = 529 + 200 = 729

x₁ = (-23 + √729) / (2 * -5) = (-23 + 27) / -10 = 4 / -10 = -0.4

x₂ = (-23 - √729) / (2 * -5) = (-23 - 27) / -10 = -50 / -10 = 5

Ответ: x₁ = -0.4, x₂ = 5

в) 7x² + x + 1 = 0

a = 7, b = 1, c = 1

D = 1² - 4 * 7 * 1 = 1 - 28 = -27

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Нет действительных корней

г) 16x² + 8x + 1 = 0

a = 16, b = 8, c = 1

D = 8² - 4 * 16 * 1 = 64 - 64 = 0

x = (-b + √D) / (2a) = (-8 + √0) / (2 * 16) = -8 / 32 = -0.25

Ответ: x = -0.25

Решение дробно-рациональных уравнений:

а) x / (20-x) = 1 / x

Умножим обе части уравнения на x(20-x), чтобы избавиться от знаменателей:

x² = 20 - x

x² + x - 20 = 0

D = 1² - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81

x₁ = (-1 + √81) / 2 = (-1 + 9) / 2 = 8 / 2 = 4

x₂ = (-1 - √81) / 2 = (-1 - 9) / 2 = -10 / 2 = -5

Проверим корни:

При x = 4: 4 / (20-4) = 4 / 16 = 1 / 4. 1 / 4 = 1 / 4. Верно.

При x = -5: -5 / (20 - (-5)) = -5 / 25 = -1 / 5. 1 / -5 = -1 / 5. Верно.

Ответ: x₁ = 4, x₂ = -5

б) (2x) / (x-1) + 3 / (x + 1) = (3x + 1) / (x²-1)

Приведем к общему знаменателю (x² - 1) = (x - 1)(x + 1):

(2x(x + 1) + 3(x - 1)) / (x² - 1) = (3x + 1) / (x² - 1)

2x² + 2x + 3x - 3 = 3x + 1

2x² + 5x - 3 = 3x + 1

2x² + 2x - 4 = 0

x² + x - 2 = 0

D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

x₁ = (-1 + √9) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-1 - √9) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

Проверим корни. Заметим, что x = 1 не может быть корнем, так как в этом случае знаменатель x - 1 обращается в ноль.

При x = -2:

(2 * -2) / (-2 - 1) + 3 / (-2 + 1) = -4 / -3 + 3 / -1 = 4 / 3 - 3 = 4 / 3 - 9 / 3 = -5 / 3

(3 * -2 + 1) / ((-2)² - 1) = (-6 + 1) / (4 - 1) = -5 / 3

-5 / 3 = -5 / 3. Верно.

Ответ: x = -2