1. Решите уравнение: a) 2x² + 7x – 9 = 0; 6) 3x² = 18x; в) 100х2 – 16 = 0; г) х² – 16x + 63 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см². 2 3. В уравнении х² + px - 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

1. Решите уравнение:

а) \(2x^2 + 7x - 9 = 0\)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\)

Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = -4.5\)

б) \(3x^2 = 18x\)

Перенесем все в одну сторону:

\(3x^2 - 18x = 0\)

Вынесем общий множитель за скобки:

\(3x(x - 6) = 0\)

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

\(3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\)

\(x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6\)

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = 6\)

в) \(100x^2 - 16 = 0\)

Преобразуем уравнение:

\(100x^2 = 16\)

\(x^2 = \frac{16}{100} = 0.16\)

\(x = \pm \sqrt{0.16} = \pm 0.4\)

Ответ: \(x_1 = 0.4, x_2 = -0.4\)

г) \(x^2 - 16x + 63 = 0\)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7\)

Ответ: \(x_1 = 9, x_2 = 7\)

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

Пусть стороны прямоугольника будут a и b. Тогда периметр равен \(2(a + b) = 20\), а площадь \(a \cdot b = 24\). Из первого уравнения выразим a + b = 10, следовательно, b = 10 - a. Подставим это во второе уравнение:

\(a(10 - a) = 24\)

\(10a - a^2 = 24\)

\(a^2 - 10a + 24 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\)

\(a_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6\)

\(a_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4\)

Если a = 6, то b = 10 - 6 = 4.

Если a = 4, то b = 10 - 4 = 6.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 4 см и 6 см.

3. В уравнении \(x^2 + px - 18 = 0\) один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент p.

Пусть \(x_1 = -9\) является корнем уравнения. Тогда подставим его в уравнение:

\((-9)^2 + p(-9) - 18 = 0\)

\(81 - 9p - 18 = 0\)

\(63 - 9p = 0\)

\(9p = 63\)

\(p = 7\)

Теперь уравнение имеет вид \(x^2 + 7x - 18 = 0\). Найдем второй корень, используя теорему Виета:

\(x_1 \cdot x_2 = -18\)

\(-9 \cdot x_2 = -18\)

\(x_2 = \frac{-18}{-9} = 2\)

Ответ: Второй корень равен 2, коэффициент p равен 7.

Ты отлично справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!