540. Решите уравнение: a) 8x² - 14x + 5 = 0; б) 12x² + 16x − 3 = 0; в) 4x² + 4x + 1 = 0; г) x² - 8x - 84 = 0; д) x² + 6x – 19 = 0; e) 5x² + 26x - 24 = 0; ж) x² - 34x + 289 = 0; з) 3x² + 32x + 80 = 0.

Решение уравнений:

а) 8x² - 14x + 5 = 0 Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:\[D = b^2 - 4ac\] В данном случае a = 8, b = -14, c = 5. Вычислим дискриминант:\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 5 = 196 - 160 = 36\] Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле:\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{14 + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{14 + 6}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1.25\] \[x_2 = \frac{14 - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{14 - 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0.5\] Ответ: x₁ = 1.25, x₂ = 0.5 б) 12x² + 16x - 3 = 0 Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:\[D = b^2 - 4ac\] В данном случае a = 12, b = 16, c = -3. Вычислим дискриминант:\[D = (16)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400\] Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле:\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{-16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-16 + 20}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\] \[x_2 = \frac{-16 - \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-16 - 20}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2} = -1.5\] Ответ: x₁ = 1/6, x₂ = -1.5 в) 4x² + 4x + 1 = 0 Заметим, что это полный квадрат:\[(2x + 1)^2 = 0\] Значит,\[2x + 1 = 0\] \[2x = -1\] \[x = -\frac{1}{2} = -0.5\] Ответ: x = -0.5 г) x² - 8x - 84 = 0 Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:\[D = b^2 - 4ac\] В данном случае a = 1, b = -8, c = -84. Вычислим дискриминант:\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400\] Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле:\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{8 + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 20}{2} = \frac{28}{2} = 14\] \[x_2 = \frac{8 - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 20}{2} = \frac{-12}{2} = -6\] Ответ: x₁ = 14, x₂ = -6 д) x² + 6x - 19 = 0 Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:\[D = b^2 - 4ac\] В данном случае a = 1, b = 6, c = -19. Вычислим дискриминант:\[D = (6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 36 + 76 = 112\] Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле:\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{112}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4\sqrt{7}}{2} = -3 + 2\sqrt{7}\] \[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{112}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4\sqrt{7}}{2} = -3 - 2\sqrt{7}\] Ответ: x₁ = -3 + 2√7, x₂ = -3 - 2√7 e) 5x² + 26x - 24 = 0 Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:\[D = b^2 - 4ac\] В данном случае a = 5, b = 26, c = -24. Вычислим дискриминант:\[D = (26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 676 + 480 = 1156\] Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле:\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{-26 + \sqrt{1156}}{2 \cdot 5} = \frac{-26 + 34}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8\] \[x_2 = \frac{-26 - \sqrt{1156}}{2 \cdot 5} = \frac{-26 - 34}{10} = \frac{-60}{10} = -6\] Ответ: x₁ = 0.8, x₂ = -6 ж) x² - 34x + 289 = 0 Заметим, что это полный квадрат:\[(x - 17)^2 = 0\] Значит,\[x - 17 = 0\] \[x = 17\] Ответ: x = 17 з) 3x² + 32x + 80 = 0 Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:\[D = b^2 - 4ac\] В данном случае a = 3, b = 32, c = 80. Вычислим дискриминант:\[D = (32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 80 = 1024 - 960 = 64\] Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем корни по формуле:\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{-32 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-32 + 8}{6} = \frac{-24}{6} = -4\] \[x_2 = \frac{-32 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-32 - 8}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}\] Ответ: x₁ = -4, x₂ = -20/3

Ответ: a) x₁ = 1.25, x₂ = 0.5; б) x₁ = 1/6, x₂ = -1.5; в) x = -0.5; г) x₁ = 14, x₂ = -6; д) x₁ = -3 + 2√7, x₂ = -3 - 2√7; e) x₁ = 0.8, x₂ = -6; ж) x = 17; з) x₁ = -4, x₂ = -20/3

Прекрасно! Ты отлично справился с решением всех этих уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Удачи в дальнейшем изучении математики!