15.10. Решите уравнение: a) 12x² + 17x - 14 = 0; б) 5/x² + 3/x = 2; в) √(x² - 15) = x - 3; г) -24x² + 38x - 15 = 0; д) 6/x² - 1/x = 5; e) √(x² - 3) = 5 - x.

Решаем уравнения:

а) 12x² + 17x - 14 = 0

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта: D = b² - 4ac.

В нашем случае: a = 12, b = 17, c = -14.

Пошаговое решение:

1. Вычисляем дискриминант: D = 17² - 4 * 12 * (-14) = 289 + 672 = 961.
2. Находим корни уравнения:
3. x₁ = (-17 + √961) / (2 * 12) = (-17 + 31) / 24 = 14 / 24 = 7 / 12
4. x₂ = (-17 - √961) / (2 * 12) = (-17 - 31) / 24 = -48 / 24 = -2

Ответ: x₁ = 7/12, x₂ = -2

б) 5/x² + 3/x = 2

Пошаговое решение:

1. Приводим к общему знаменателю: (5 + 3x) / x² = 2
2. Умножаем обе части на x²: 5 + 3x = 2x²
3. Переносим все в одну сторону: 2x² - 3x - 5 = 0
4. Решаем квадратное уравнение:
5. D = (-3)² - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49
6. x₁ = (3 + √49) / (2 * 2) = (3 + 7) / 4 = 10 / 4 = 5 / 2
7. x₂ = (3 - √49) / (2 * 2) = (3 - 7) / 4 = -4 / 4 = -1

Ответ: x₁ = 5/2, x₂ = -1

в) √(x² - 15) = x - 3

Пошаговое решение:

1. Возводим обе части в квадрат: x² - 15 = (x - 3)²
2. Раскрываем скобки: x² - 15 = x² - 6x + 9
3. Упрощаем: 6x = 24
4. x = 24 / 6 = 4

Проверяем корень: √(4² - 15) = √(16 - 15) = √1 = 1, и 4 - 3 = 1. Значит, корень подходит.

Ответ: x = 4

г) -24x² + 38x - 15 = 0

Пошаговое решение:

1. Умножаем на -1: 24x² - 38x + 15 = 0
2. D = (-38)² - 4 * 24 * 15 = 1444 - 1440 = 4
3. x₁ = (38 + √4) / (2 * 24) = (38 + 2) / 48 = 40 / 48 = 5 / 6
4. x₂ = (38 - √4) / (2 * 24) = (38 - 2) / 48 = 36 / 48 = 3 / 4

Ответ: x₁ = 5/6, x₂ = 3/4

д) 6/x² - 1/x = 5

Пошаговое решение:

1. Приводим к общему знаменателю: (6 - x) / x² = 5
2. Умножаем обе части на x²: 6 - x = 5x²
3. Переносим все в одну сторону: 5x² + x - 6 = 0
4. D = 1² - 4 * 5 * (-6) = 1 + 120 = 121
5. x₁ = (-1 + √121) / (2 * 5) = (-1 + 11) / 10 = 10 / 10 = 1
6. x₂ = (-1 - √121) / (2 * 5) = (-1 - 11) / 10 = -12 / 10 = -6 / 5

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -6/5

e) √(x² - 3) = 5 - x

Пошаговое решение:

1. Возводим обе части в квадрат: x² - 3 = (5 - x)²
2. Раскрываем скобки: x² - 3 = 25 - 10x + x²
3. Упрощаем: 10x = 28
4. x = 28 / 10 = 14 / 5

Проверяем корень: √( (14/5)² - 3 ) = √(196/25 - 75/25) = √(121/25) = 11/5, и 5 - 14/5 = 25/5 - 14/5 = 11/5. Значит, корень подходит.

Ответ: x = 14/5