1 Решите уравнение: a) x²/(x+4) = 2x/(x+4); в) 15/(8-x) = x; б) x²/(x²-25) = (5-4x)/(x²-25); г) 2/(2-3x) = x + 1. 2 При каком значении х значение функции у = (x²-2x-6)/(x-4) рав- но 3?

Задание 1

Давай решим уравнения по порядку.

а) \[ \frac{x^2}{x+4} = \frac{2x}{x+4} \]

Так как знаменатели одинаковые, можем приравнять числители:

\[ x^2 = 2x \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 - 2x = 0 \]

Вынесем x за скобки:

\[ x(x - 2) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ x = 0 \] или \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]

Проверим ОДЗ: \( x + 4
eq 0 \Rightarrow x
eq -4 \]. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: \( x = 0 \) или \( x = 2 \)

б) \[ \frac{x^2}{x^2-25} = \frac{5-4x}{x^2-25} \]

Так как знаменатели одинаковые, можем приравнять числители:

\[ x^2 = 5 - 4x \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Проверим ОДЗ: \( x^2 - 25
eq 0 \Rightarrow x
eq \pm 5 \]. \( x_1 = 1 \) удовлетворяет этому условию, а \( x_2 = -5 \) нет.

Ответ: \( x = 1 \)

в) \[ \frac{15}{8-x} = x \]

Умножим обе части на \( 8-x \):

\[ 15 = x(8-x) \]

\[ 15 = 8x - x^2 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2} \]

\[ x_1 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Проверим ОДЗ: \( 8 - x
eq 0 \Rightarrow x
eq 8 \]. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: \( x = 5 \) или \( x = 3 \)

г) \[ \frac{2}{2-3x} = x + 1 \]

Умножим обе части на \( 2-3x \):

\[ 2 = (x+1)(2-3x) \]

\[ 2 = 2x - 3x^2 + 2 - 3x \]

\[ 2 = -3x^2 - x + 2 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 3x^2 + x = 0 \]

Вынесем x за скобки:

\[ x(3x + 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ x = 0 \] или \( 3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \]

Проверим ОДЗ: \( 2 - 3x
eq 0 \Rightarrow x
eq \frac{2}{3} \]. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: \( x = 0 \) или \( x = -\frac{1}{3} \)

Задание 2

Нам нужно найти значение \( x \), при котором функция \( y = \frac{x^2 - 2x - 6}{x - 4} \) равна 3.

Приравняем функцию к 3:

\[ \frac{x^2 - 2x - 6}{x - 4} = 3 \]

Умножим обе части на \( x - 4 \):

\[ x^2 - 2x - 6 = 3(x - 4) \]

\[ x^2 - 2x - 6 = 3x - 12 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 - 2x - 3x - 6 + 12 = 0 \]

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

\[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Проверим ОДЗ: \( x - 4
eq 0 \Rightarrow x
eq 4 \]. Оба корня удовлетворяют этому условию.

Ответ: \( x = 3 \) или \( x = 2 \)

Ты молодец! У тебя всё получится!