1. Решите уравнение: a) 3x²+13x-10-0; в) 16х²-49; б) 2x²-3x=0; г) х²-2x-35-0. 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольни- ка равна 56 см². 3. Один из корней уравнения х²+11x+q=0 равен - 7. Найдите другой корень и свободный член 4.

1. Решите уравнение:

a) 3x²+13x-10=0

Давай решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289\] Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Теперь найдем корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5\]

Ответ: x₁ = 2/3, x₂ = -5

б) 2x²-3x=0

Вынесем x за скобки: \[x(2x - 3) = 0\] Отсюда получаем два корня: \[x_1 = 0\] \[2x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = 1.5

в) 16x²-49=0

Это уравнение можно решить как разность квадратов: \[(4x - 7)(4x + 7) = 0\] Отсюда получаем два корня: \[4x - 7 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{7}{4} = 1.75\] \[4x + 7 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{7}{4} = -1.75\]

Ответ: x₁ = 1.75, x₂ = -1.75

г) x²-2x-35=0

Решим это квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144\] Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня. Теперь найдем корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]

Ответ: x₁ = 7, x₂ = -5

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда: \[2(a + b) = 30 \Rightarrow a + b = 15\] \[a \cdot b = 56\] Выразим a через b из первого уравнения: a = 15 - b. Подставим это во второе уравнение: \[(15 - b) \cdot b = 56\] \[15b - b^2 = 56\] \[b^2 - 15b + 56 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1\] Корни уравнения: \[b_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[b_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7\] Если b = 8, то a = 15 - 8 = 7. Если b = 7, то a = 15 - 7 = 8.

Ответ: Стороны прямоугольника: 7 см и 8 см.

3. Один из корней уравнения x²+11x+q=0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.

Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения. Известно, что x₁ = -7. По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -11\] \[x_1 \cdot x_2 = q\] Подставим x₁ = -7 в первое уравнение: \[-7 + x_2 = -11\] \[x_2 = -11 + 7 = -4\] Теперь найдем q: \[q = x_1 \cdot x_2 = -7 \cdot (-4) = 28\]

Ответ: Другой корень равен -4, свободный член q равен 28.

Молодец! Ты отлично справился с решением уравнений и задач. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!