1. Решите уравнение: a) x²-3x-4/x+1 = 0; б) x+7 = 8/x; в) x/x+2 + x+2/x-2 = 8/x²-4.

Решаем уравнения:

а) \[\frac{x^2-3x-4}{x+1} = 0\]

Для начала определим ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x
eq -1\).

Теперь можно решать уравнение, приравняв числитель к нулю:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\).

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1\]

Но, учитывая ОДЗ \(x
eq -1\), корень \(x_2 = -1\) не подходит.

Ответ: \(x = 4\)

б) \(x + 7 = \frac{8}{x}\)

ОДЗ: \(x
eq 0\).

Умножим обе части уравнения на \(x\):

\[x(x + 7) = 8\]

\[x^2 + 7x = 8\]

\[x^2 + 7x - 8 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\).

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = -8\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x = 1\) и \(x = -8\)

в) \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}\)

Заметим, что \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\). ОДЗ: \(x
eq \pm 2\).

Приведем все дроби к общему знаменателю \((x+2)(x-2)\):

\[\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x+2)(x-2)}\]

Теперь можно сложить числители:

\[x(x-2) + (x+2)(x+2) = 8\]

\[x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 8\]

\[2x^2 + 2x + 4 = 8\]

\[2x^2 + 2x - 4 = 0\]

Разделим обе части на 2:

\[x^2 + x - 2 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\).

Корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]

Но, учитывая ОДЗ \(x
eq -2\), корень \(x_2 = -2\) не подходит.

Ответ: \(x = 1\)