1. Решите уравнение: a) x³ - 25x = 0; 6) x²+6 - 8-x = 1. 5 10 2. Решите биквадратное уравнение: х² - 4x² - 45 = 0 3. Решите неравенство: a) 2x²-x-15 > 0; 6) x² - 16 < 0; в) x² + 12x + 80 <0. 4. Решите неравенство, используя метод интервалов: x+3 a) (x + 11) (x−9) < 0; 6) x-8 > 0. 5. При каких значениях t уравнение 2x² + tx + 8 = 0 не имеет корней? 6.* Решите уравнение: x²-14 10x x x²-14 = 3.

Решение заданий:

1. Решите уравнение: * а) \(x^3 - 25x = 0\) Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \[x(x^2 - 25) = 0\] Теперь у нас есть два случая: 1. \(x = 0\) 2. \(x^2 - 25 = 0\) \[x^2 = 25\] \[x = \pm 5\] Таким образом, решения уравнения: \[x_1 = -5, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 5\] * б) \(\frac{x^2 + 6}{5} - \frac{8 - x}{10} = 1\) Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от дробей: \[2(x^2 + 6) - (8 - x) = 10\] \[2x^2 + 12 - 8 + x = 10\] \[2x^2 + x + 4 = 10\] \[2x^2 + x - 6 = 0\] Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-1 \pm 7}{4}\] Решения уравнения: \[x_1 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2\] \[x_2 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5\] 2. Решите биквадратное уравнение: \(x^4 - 4x^2 - 45 = 0\) Пусть \(y = x^2\), тогда уравнение примет вид: \[y^2 - 4y - 45 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196\] \[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{4 \pm 14}{2}\] Решения для \(y\): \[y_1 = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] \[y_2 = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9\] Теперь вернемся к \(x\): * \(x^2 = -5\) (нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным) * \(x^2 = 9\) \[x = \pm 3\] Таким образом, решения уравнения: \[x_1 = -3, \quad x_2 = 3\] 3. Решите неравенство: * а) \(2x^2 - x - 15 > 0\) Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - x - 15 = 0\): \[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{1 \pm 11}{4}\] Решения уравнения: \[x_1 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\] \[x_2 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3\] Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх. Следовательно, неравенство \(2x^2 - x - 15 > 0\) выполняется при: \[x < -2.5 \quad \text{или} \quad x > 3\] Ответ: \[x \in (-\infty, -2.5) \cup (3, +\infty)\] * б) \(x^2 - 16 < 0\) Разложим на множители: \[(x - 4)(x + 4) < 0\] Метод интервалов: корни \(x = -4\) и \(x = 4\). Проверяем знаки на интервалах: * \(x < -4\): \((-)\,(-)\) -> (+) * \(-4 < x < 4\): \((+)\,(-)\) -> (-) * \(x > 4\): \((+)\,(+)\) -> (+) Неравенство \(x^2 - 16 < 0\) выполняется при: \[-4 < x < 4\] Ответ: \[x \in (-4, 4)\] * в) \(x^2 + 12x + 80 < 0\) Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 12x + 80 = 0\): \[D = b^2 - 4ac = (12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 144 - 320 = -176\] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Парабола \(y = x^2 + 12x + 80\) находится выше оси \(x\). Следовательно, неравенство \(x^2 + 12x + 80 < 0\) не имеет решений. Ответ: \[\text{нет решений}\] 4. Решите неравенство, используя метод интервалов: * a) \((x + 11)(x - 9) < 0\) Найдем корни: \(x = -11\) и \(x = 9\). Проверяем знаки на интервалах: * \(x < -11\): \((-)\,(-)\) -> (+) * \(-11 < x < 9\): \((+)\,(-)\) -> (-) * \(x > 9\): \((+)\,(+)\) -> (+) Неравенство \((x + 11)(x - 9) < 0\) выполняется при: \[-11 < x < 9\] Ответ: \[x \in (-11, 9)\] * б) \(\frac{x + 3}{x - 8} > 0\) Найдем корни: \(x = -3\) и \(x = 8\). Проверяем знаки на интервалах: * \(x < -3\): \((-)\,(-)\) -> (+) * \(-3 < x < 8\): \((+)\,(-)\) -> (-) * \(x > 8\): \((+)\,(+)\) -> (+) Неравенство \(\frac{x + 3}{x - 8} > 0\) выполняется при: \[x < -3 \quad \text{или} \quad x > 8\] Ответ: \[x \in (-\infty, -3) \cup (8, +\infty)\] 5. При каких значениях \(t\) уравнение \(2x^2 + tx + 8 = 0\) не имеет корней? Чтобы уравнение не имело корней, его дискриминант должен быть отрицательным: \[D = b^2 - 4ac = t^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = t^2 - 64\] Условие отсутствия корней: \(D < 0\) \[t^2 - 64 < 0\] \[(t - 8)(t + 8) < 0\] Интервалы: * \(t < -8\): \((-)\,(-)\) -> (+) * \(-8 < t < 8\): \((+)\,(-)\) -> (-) * \(t > 8\): \((+)\,(+)\) -> (+) Неравенство выполняется при: \[-8 < t < 8\] Ответ: \[t \in (-8, 8)\] 6. Решите уравнение: \(\frac{x^2 - 14}{x} - \frac{10x}{x^2 - 14} = 3\) Пусть \(y = \frac{x^2 - 14}{x}\), тогда уравнение примет вид: \[y - \frac{10}{y} = 3\] Умножим обе части на \(y\): \[y^2 - 10 = 3y\] \[y^2 - 3y - 10 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\] \[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}\] Решения для \(y\): \[y_1 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[y_2 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\] Теперь вернемся к \(x\): * \(\frac{x^2 - 14}{x} = -2\) \[x^2 - 14 = -2x\] \[x^2 + 2x - 14 = 0\] \[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 4 + 56 = 60\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -1 \pm \sqrt{15}\] \[x_1 = -1 - \sqrt{15}, \quad x_2 = -1 + \sqrt{15}\] * \(\frac{x^2 - 14}{x} = 5\) \[x^2 - 14 = 5x\] \[x^2 - 5x - 14 = 0\] \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2}\] \[x_3 = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[x_4 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\] Таким образом, решения уравнения: \[x_1 = -1 - \sqrt{15}, \quad x_2 = -1 + \sqrt{15}, \quad x_3 = -2, \quad x_4 = 7\]

Ответ: См. решение выше

Ты молодец! У тебя всё получится!