Решите уравнение: a) x√√5-√2x√5 + √2 + 13x x√5+ √2x√5-√25x²-2

Решение уравнения:

a) Давай решим уравнение поэтапно:

\[\frac{x\sqrt{5} - \sqrt{2}}{x\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{5} + \sqrt{2}}{x\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{13x}{5x^2 - 2}\]

Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

\[x\sqrt{5} + \sqrt{2}
eq 0 \Rightarrow x
eq -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\] \[x\sqrt{5} - \sqrt{2}
eq 0 \Rightarrow x
eq \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\] \[5x^2 - 2
eq 0 \Rightarrow x^2
eq \frac{2}{5} \Rightarrow x
eq \pm \sqrt{\frac{2}{5}} \Rightarrow x
eq \pm \frac{\sqrt{10}}{5}\]

Приведем левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{(x\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 + (x\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}{(x\sqrt{5} + \sqrt{2})(x\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{13x}{5x^2 - 2}\] \[\frac{(x^2(5) - 2x\sqrt{10} + 2) + (x^2(5) + 2x\sqrt{10} + 2)}{5x^2 - 2} = \frac{13x}{5x^2 - 2}\] \[\frac{5x^2 - 2x\sqrt{10} + 2 + 5x^2 + 2x\sqrt{10} + 2}{5x^2 - 2} = \frac{13x}{5x^2 - 2}\] \[\frac{10x^2 + 4}{5x^2 - 2} = \frac{13x}{5x^2 - 2}\]

Умножим обе части уравнения на \(5x^2 - 2\), учитывая, что \(5x^2 - 2
eq 0\):

\[10x^2 + 4 = 13x\] \[10x^2 - 13x + 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-13)^2 - 4(10)(4) = 169 - 160 = 9\] \[x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{9}}{2(10)} = \frac{13 + 3}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}\] \[x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{9}}{2(10)} = \frac{13 - 3}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\]

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ:

\[x_1 = \frac{4}{5} = 0.8\] \[x_2 = \frac{1}{2} = 0.5\] \[\frac{\sqrt{10}}{5} \approx \frac{3.16}{5} \approx 0.63\]

Оба корня \(x_1 = \frac{4}{5}\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x = 4/5, 1/2

Молодец! Ты отлично справился с решением этого уравнения. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!