Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика5. Решите уравнение: 1. a) (2x - 1)² = x - 1; x-2; 2 б) (3x + 1)² = 5(x + 1); 2 B) (x + 1)² = 2x + 1; 2 2 r) (x - 1)² = 3(x - 1); г) д) х + x² = x³ + x4; e) x - x² = x³ - x4; ж) x² + x² + x + 1 = 0; 3) x²- x² + x - 1 = 0.
Ответ:
Решение:
Привет! Давай решим эти уравнения вместе. Я помогу тебе разобраться с каждым шагом.
а) \[(2x - 1)^2 = x - \frac{1}{2}\]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[4x^2 - 4x + 1 = x - \frac{1}{2}\] \[4x^2 - 5x + \frac{3}{2} = 0\]Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[8x^2 - 10x + 3 = 0\]Найдем дискриминант:
\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4\]Найдем корни:
\[x_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{10 + 2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\] \[x_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{10 - 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\]Ответ: \[x_1 = \frac{3}{4}, x_2 = \frac{1}{2}\]
б) \[(3x + 1)^2 = 5(x + \frac{1}{3})\]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[9x^2 + 6x + 1 = 5x + \frac{5}{3}\] \[9x^2 + x + 1 - \frac{5}{3} = 0\] \[9x^2 + x - \frac{2}{3} = 0\]Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:
\[27x^2 + 3x - 2 = 0\]Найдем дискриминант:
\[D = 3^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-2) = 9 + 216 = 225\]Найдем корни:
\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 27} = \frac{-3 + 15}{54} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 27} = \frac{-3 - 15}{54} = \frac{-18}{54} = -\frac{1}{3}\]Ответ: \[x_1 = \frac{2}{9}, x_2 = -\frac{1}{3}\]
в) \[(x + \frac{1}{2})^2 = 2x + 1\]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[x^2 + x + \frac{1}{4} = 2x + 1\] \[x^2 - x - \frac{3}{4} = 0\]Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[4x^2 - 4x - 3 = 0\]Найдем дискриминант:
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64\]Найдем корни:
\[x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}\]Ответ: \[x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}\]
г) \[(x - \frac{1}{7})^2 = 3(7x - 1)\]
Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[x^2 - \frac{2}{7}x + \frac{1}{49} = 21x - 3\] \[x^2 - \frac{2}{7}x - 21x + \frac{1}{49} + 3 = 0\] \[x^2 - \frac{149}{7}x + \frac{148}{49} = 0\]Умножим обе части на 49, чтобы избавиться от дроби:
\[49x^2 - 1043x + 148 = 0\]Найдем дискриминант:
\[D = (-1043)^2 - 4 \cdot 49 \cdot 148 = 1087849 - 28952 = 1058897\]Найдем корни:
\[x_1 = \frac{1043 + \sqrt{1058897}}{2 \cdot 49} = \frac{1043 + \sqrt{1058897}}{98}\] \[x_2 = \frac{1043 - \sqrt{1058897}}{2 \cdot 49} = \frac{1043 - \sqrt{1058897}}{98}\]Ответ: \[x_1 = \frac{1043 + \sqrt{1058897}}{98}, x_2 = \frac{1043 - \sqrt{1058897}}{98}\]
д) \[x + x^2 = x^3 + x^4\]
Перенесем все в одну сторону:
\[x^4 + x^3 - x^2 - x = 0\]Вынесем общий множитель x:
\[x(x^3 + x^2 - x - 1) = 0\]Один корень x = 0. Разложим кубическое уравнение на множители:
\[x(x^2(x + 1) - (x + 1)) = 0\] \[x(x + 1)(x^2 - 1) = 0\] \[x(x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0\]Корни:
\[x = 0, x = 1, x = -1\]Ответ: \[x = 0, x = 1, x = -1\]
е) \[x - x^2 = x^3 - x^4\]
Перенесем все в одну сторону:
\[x^4 - x^3 - x^2 + x = 0\]Вынесем общий множитель x:
\[x(x^3 - x^2 - x + 1) = 0\]Один корень x = 0. Разложим кубическое уравнение на множители:
\[x(x^2(x - 1) - (x - 1)) = 0\] \[x(x - 1)(x^2 - 1) = 0\] \[x(x - 1)(x - 1)(x + 1) = 0\]Корни:
\[x = 0, x = 1, x = -1\]Ответ: \[x = 0, x = 1, x = -1\]
ж) \[x^3 + x^2 + x + 1 = 0\]
Разложим на множители:
\[x^2(x + 1) + (x + 1) = 0\] \[(x + 1)(x^2 + 1) = 0\]Один корень x = -1. Другие корни мнимые.
Ответ: \[x = -1\]
з) \[x^3 - x^2 + x - 1 = 0\]
Разложим на множители:
\[x^2(x - 1) + (x - 1) = 0\] \[(x - 1)(x^2 + 1) = 0\]Один корень x = 1. Другие корни мнимые.
Ответ: \[x = 1\]
Ответ: смотри выше
Молодец! Ты отлично справляешься. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
