Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика798. Решите уравнение: a) x+1 / 6 + 20 / x-1 = 4; б) x+15 / 4 - 21 / x+2 = 2; д) 3 / 1-x + 1 / 1+x = 28 / 1-x²; e) 5 / x-2 - 3 / x+2 = 20 / x²-4;
Ответ:
a) \[\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4;\]
Для начала избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на 6(x-1):
\[(x+1)(x-1) + 20 \cdot 6 = 4 \cdot 6(x-1);\] \[x^2 - 1 + 120 = 24x - 24;\] \[x^2 - 24x + 143 = 0;\]Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 143 = 576 - 572 = 4;\]Так как дискриминант больше нуля, у нас два корня:
\[x_1 = \frac{24 + \sqrt{4}}{2} = \frac{24 + 2}{2} = 13;\] \[x_2 = \frac{24 - \sqrt{4}}{2} = \frac{24 - 2}{2} = 11;\]Проверим, не обращают ли корни знаменатель в ноль. x ≠ 1. Оба корня подходят.
Ответ: x = 13, x = 11
б) \[\frac{x+15}{4} - \frac{21}{x+2} = 2;\]
Избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на 4(x+2):
\[(x+15)(x+2) - 21 \cdot 4 = 2 \cdot 4(x+2);\] \[x^2 + 2x + 15x + 30 - 84 = 8x + 16;\] \[x^2 + 17x - 54 = 8x + 16;\] \[x^2 + 9x - 70 = 0;\]Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361;\]Так как дискриминант больше нуля, у нас два корня:
\[x_1 = \frac{-9 + \sqrt{361}}{2} = \frac{-9 + 19}{2} = 5;\] \[x_2 = \frac{-9 - \sqrt{361}}{2} = \frac{-9 - 19}{2} = -14;\]Проверим, не обращают ли корни знаменатель в ноль. x ≠ -2. Оба корня подходят.
Ответ: x = 5, x = -14
д) \[\frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2};\]
Заметим, что 1 - x² = (1 - x)(1 + x). Умножим обе части уравнения на (1 - x)(1 + x):
\[3(1+x) + 1(1-x) = 28;\] \[3 + 3x + 1 - x = 28;\] \[2x + 4 = 28;\] \[2x = 24;\] \[x = 12;\]Проверим, не обращает ли корень знаменатель в ноль. x ≠ ±1. Корень подходит.
Ответ: x = 12
e) \[\frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4};\]
Заметим, что x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Умножим обе части уравнения на (x - 2)(x + 2):
\[5(x+2) - 3(x-2) = 20;\] \[5x + 10 - 3x + 6 = 20;\] \[2x + 16 = 20;\] \[2x = 4;\] \[x = 2;\]Проверим, не обращает ли корень знаменатель в ноль. x ≠ ±2. Значит, x = 2 не является решением.
Ответ: нет решений
