Решите уравнение: a) 3x + 1 x-1 ---- - ---- = 1; x+2 x-2 б) 2y-2 y+3 ---- + ---- = 5; y+3 y-3 в) 4 4 5 ------- - ----- = ------ ; 9y²-1 3y+1 1-3y г) 4 5 1 ---- - ---- = ---- -1; x+3 3-x x-3 д) 3 4 5-x - + ---- = ------ ; x x-1 x²-x e) 3y-2 1 3y + 4 ---- - ---- = --------.

Решение уравнений:

а) \[\frac{3x + 1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1;\] Давай разберем по порядку: \[\frac{(3x + 1)(x-2) - (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1;\] \[\frac{3x^2 - 6x + x - 2 - (x^2 + 2x - x - 2)}{x^2 - 4} = 1;\] \[\frac{3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2}{x^2 - 4} = 1;\] \[\frac{2x^2 - 6x}{x^2 - 4} = 1;\] \[2x^2 - 6x = x^2 - 4;\] \[x^2 - 6x + 4 = 0;\] Решаем квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20;\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5};\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}.\] Ответ: \[x_1 = 3 + \sqrt{5}, \quad x_2 = 3 - \sqrt{5}.\]
б) \[\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5;\] Сначала приведем дроби к общему знаменателю: \[\frac{(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+3)}{(y+3)(y-3)} = 5;\] \[\frac{2y^2 - 6y - 2y + 6 + y^2 + 6y + 9}{y^2 - 9} = 5;\] \[\frac{3y^2 - 2y + 15}{y^2 - 9} = 5;\] \[3y^2 - 2y + 15 = 5(y^2 - 9);\] \[3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45;\] \[2y^2 + 2y - 60 = 0;\] \[y^2 + y - 30 = 0;\] Используем теорему Виета: \[y_1 + y_2 = -1, \quad y_1 \cdot y_2 = -30;\] \[y_1 = -6, \quad y_2 = 5.\] Ответ: \[y_1 = -6, \quad y_2 = 5.\]
в) \[\frac{4}{9y^2-1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y};\] \[\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1};\] \[\frac{4 - 4(3y-1) + 5(3y+1)}{(3y-1)(3y+1)} = 0;\] \[4 - 12y + 4 + 15y + 5 = 0;\] \[3y + 13 = 0;\] \[3y = -13;\] \[y = -\frac{13}{3}.\] Ответ: \[y = -\frac{13}{3}.\]
г) \[\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1;\] \[\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1;\] \[\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} + 1 = 0;\] \[\frac{4(x-3) + 4(x+3) + (x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = 0;\] \[4x - 12 + 4x + 12 + x^2 - 9 = 0;\] \[x^2 + 8x - 9 = 0;\] \[(x+9)(x-1) = 0;\] \[x_1 = -9, \quad x_2 = 1.\] Ответ: \[x_1 = -9, \quad x_2 = 1.\]
д) \[\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x};\] \[\frac{3(x-1) + 4x}{x(x-1)} = \frac{5-x}{x(x-1)};\] \[3x - 3 + 4x = 5 - x;\] \[7x - 3 = 5 - x;\] \[8x = 8;\] \[x = 1.\] Однако, при x = 1 знаменатель обращается в нуль, следовательно, уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений.
e) \[\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2 - 2y};\] \[\frac{(3y-2)(y-2) - y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)};\] \[3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y + 4;\] \[3y^2 - 9y + 4 = 3y + 4;\] \[3y^2 - 12y = 0;\] \[3y(y - 4) = 0;\] \[y_1 = 0, \quad y_2 = 4.\] Однако, при y = 0 знаменатель обращается в нуль, следовательно, y = 4. Ответ: y = 4.
Ты отлично справился с этими уравнениями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!