608. Решите уравнение: a) 10/(x - 5)(x + 1) + x/(x + 1) = 3/(x - 5); б) 17/(x - 3)(x + 4) - 1/(x - 3) = x/(x + 4); в) 4/(x + 1)² - 1/(x - 1)² + 1/(x² - 1) = 0; г) 4/(9x²-1) + 1/(3x²- x) = 4/(9x²-6x + 1)

Решим уравнение 608 a)

Давай решим уравнение по шагам:

\[\frac{10}{(x - 5)(x + 1)} + \frac{x}{x + 1} = \frac{3}{x - 5}\]

Приведем дроби к общему знаменателю, домножим вторую дробь на (x-5), третью на (x+1):

\[\frac{10 + x(x - 5)}{(x - 5)(x + 1)} = \frac{3(x + 1)}{(x - 5)(x + 1)}\]

Так как знаменатели равны, приравняем числители:

\[10 + x(x - 5) = 3(x + 1)\] \[10 + x^2 - 5x = 3x + 3\] \[x^2 - 5x - 3x + 10 - 3 = 0\] \[x^2 - 8x + 7 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36

\[x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Проверим корни на допустимые значения (ОДЗ). Исключаем значения, при которых знаменатель обращается в ноль: x ≠ 5, x ≠ -1. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: x = 7, x = 1

Решим уравнение 608 б)

Давай решим уравнение по шагам:

\[\frac{17}{(x - 3)(x + 4)} - \frac{1}{x - 3} = \frac{x}{x + 4}\]

Приведем дроби к общему знаменателю, домножим вторую дробь на (x+4), третью на (x-3):

\[\frac{17 - 1(x + 4)}{(x - 3)(x + 4)} = \frac{x(x - 3)}{(x + 4)(x - 3)}\]

Так как знаменатели равны, приравняем числители:

\[17 - (x + 4) = x(x - 3)\] \[17 - x - 4 = x^2 - 3x\] \[13 - x = x^2 - 3x\] \[x^2 - 3x + x - 13 = 0\] \[x^2 - 2x - 13 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56

\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{56}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + \sqrt{56}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{14}}{2} = 1 + \sqrt{14}\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{56}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - \sqrt{56}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{14}}{2} = 1 - \sqrt{14}\]

Проверим корни на допустимые значения (ОДЗ). Исключаем значения, при которых знаменатель обращается в ноль: x ≠ 3, x ≠ -4. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: x = 1 + √14, x = 1 - √14

Решим уравнение 608 в)

Давай решим уравнение по шагам:

\[\frac{4}{(x + 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{x^2 - 1} = 0\]

Заметим, что x² - 1 = (x + 1)(x - 1), приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{4(x - 1)^2 - (x + 1)^2(x - 1)^2 + (x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2(x - 1)^2} = 0\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{4(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 1)}{(x + 1)^2(x - 1)^2} = 0\] \[\frac{4x^2 - 8x + 4 - x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1}{(x + 1)^2(x - 1)^2} = 0\] \[\frac{4x^2 - 10x + 2}{(x + 1)^2(x - 1)^2} = 0\]

Приравняем числитель к нулю:

\[4x^2 - 10x + 2 = 0\]

Разделим уравнение на 2:

\[2x^2 - 5x + 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}\] \[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}\]

Проверим корни на допустимые значения (ОДЗ). Исключаем значения, при которых знаменатель обращается в ноль: x ≠ -1, x ≠ 1. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: x = (5 + √17)/4, x = (5 - √17)/4

Решим уравнение 608 г)

Давай решим уравнение по шагам:

\[\frac{4}{9x^2 - 1} + \frac{1}{3x^2 - x} = \frac{4}{9x^2 - 6x + 1}\]

Разложим знаменатели на множители:

\[9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)\] \[3x^2 - x = x(3x - 1)\] \[9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2\]

Подставим разложение в уравнение:

\[\frac{4}{(3x - 1)(3x + 1)} + \frac{1}{x(3x - 1)} = \frac{4}{(3x - 1)^2}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{4x(3x - 1) + (3x + 1)(3x - 1)}{x(3x - 1)^2(3x + 1)} = \frac{4x(3x + 1)}{x(3x - 1)^2(3x + 1)}\]

Приравняем числители:

\[4x(3x - 1) + (3x + 1)(3x - 1) = 4x(3x + 1)\] \[12x^2 - 4x + 9x^2 - 1 = 12x^2 + 4x\] \[12x^2 - 4x + 9x^2 - 1 - 12x^2 - 4x = 0\] \[9x^2 - 8x - 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100

\[x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 + 10}{18} = \frac{18}{18} = 1\] \[x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}\]

Проверим корни на допустимые значения (ОДЗ). Исключаем значения, при которых знаменатель обращается в ноль: x ≠ 1/3, x ≠ -1/3, x ≠ 0. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: x = 1, x = -1/9

Молодец! Ты отлично справился с решением уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!