Решите уравнение: a) x4- 5x2 = 0; б) x4 – 11x2 + 18 = 0. Найдите корни уравнения x3 – 5x2 – 4x + 20 = x2 – 25 = 0. 3 Решите уравнение методом введения новой переменной: (x²- 3)² + x² – 3 = 2. 4 Заказ на изготовление 80 деталей первый рабочий выполняет на 2 ч быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготав- ливает второй рабочий, если известно, что первый за час из- готавливает на 2 детали больше? 5 При каких значениях в сумма дробей 9+7b + dроби b2+2b-3 ? 2b+1 b+3 и b+3 b-1 равна

Привет! Сейчас решим эти уравнения и задачу. Будет немного сложно, но уверена, что у тебя все получится!

Решение уравнения:

a) \( x^4 - 5x^2 = 0 \)

Вынесем \( x^2 \) за скобки:

\( x^2(x^2 - 5) = 0 \)

Отсюда два случая:

1. \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
2. \( x^2 - 5 = 0 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5} \)

Ответ: \( x = 0, x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5} \)

б) \( x^4 - 11x^2 + 18 = 0 \)

Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 11y + 18 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 \)

\( y_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2} = \frac{11 + 7}{2} = 9 \)

\( y_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2} = \frac{11 - 7}{2} = 2 \)

Вернемся к замене:

1. \( x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \)
2. \( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \)

Ответ: \( x = 3, x = -3, x = \sqrt{2}, x = -\sqrt{2} \)

Найдем корни уравнения:

\[\frac{x^3 - 5x^2 - 4x + 20}{x^2 - 25} = 0\]

Разложим числитель на множители:

\[x^2(x - 5) - 4(x - 5) = (x^2 - 4)(x - 5) = (x - 2)(x + 2)(x - 5)\]

Разложим знаменатель на множители:

\[x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\]

Тогда уравнение можно переписать как:

\[\frac{(x - 2)(x + 2)(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 0\]

Сократим на \( (x - 5) \), но учтем, что \( x
eq 5 \). Получим:

\[\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 5)} = 0\]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\[(x - 2)(x + 2) = 0\]

Отсюда два случая:

1. \[x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\]
2. \[x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\]

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( x
eq -5 \) и \( x
eq 5 \).

Ответ: \( x = 2, x = -2 \)

Решим уравнение методом введения новой переменной:

\[(x^2 - 3)^2 + x^2 - 3 = 2\]

Пусть \( y = x^2 - 3 \), тогда уравнение примет вид:

\[y^2 + y = 2\]

\[y^2 + y - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]

\[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]

\[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]

Вернемся к замене:

1. \[x^2 - 3 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\]
2. \[x^2 - 3 = -2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\]

Ответ: \( x = 2, x = -2, x = 1, x = -1 \)

Решим задачу:

Пусть второй рабочий изготавливает \( x \) деталей в час, тогда первый рабочий изготавливает \( x + 2 \) деталей в час.

Время, которое тратит второй рабочий на изготовление 80 деталей: \( \frac{80}{x} \)

Время, которое тратит первый рабочий на изготовление 80 деталей: \( \frac{80}{x + 2} \)

Из условия задачи известно, что первый рабочий выполняет заказ на 2 часа быстрее, чем второй, поэтому:

\[\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 2} = 2\]

Умножим обе части уравнения на \( x(x + 2) \):

\[80(x + 2) - 80x = 2x(x + 2)\]

\[80x + 160 - 80x = 2x^2 + 4x\]

\[2x^2 + 4x - 160 = 0\]

\[x^2 + 2x - 80 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324\]

\[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-2 + 18}{2} = 8\]

\[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-2 - 18}{2} = -10\]

Так как количество деталей не может быть отрицательным, то \( x = 8 \).

Значит, второй рабочий изготавливает 8 деталей в час.

Ответ: 8 деталей

При каких значениях \( b \) сумма дробей равна:

\[\frac{9 + 7b}{b^2 + 2b - 3} + \frac{2b + 1}{b + 3} = \frac{b + 3}{b - 1}\]

Разложим знаменатель первой дроби на множители:

\[b^2 + 2b - 3 = (b + 3)(b - 1)\]

Тогда уравнение можно переписать как:

\[\frac{9 + 7b}{(b + 3)(b - 1)} + \frac{2b + 1}{b + 3} = \frac{b + 3}{b - 1}\]

Приведем дроби к общему знаменателю \( (b + 3)(b - 1) \):

\[\frac{9 + 7b + (2b + 1)(b - 1)}{(b + 3)(b - 1)} = \frac{(b + 3)^2}{(b + 3)(b - 1)}\]

\[9 + 7b + (2b^2 - 2b + b - 1) = b^2 + 6b + 9\]

\[9 + 7b + 2b^2 - b - 1 = b^2 + 6b + 9\]

\[2b^2 + 6b + 8 = b^2 + 6b + 9\]

\[b^2 - 1 = 0\]

\[(b - 1)(b + 1) = 0\]

Отсюда два случая:

1. \[b - 1 = 0 \Rightarrow b = 1\]
2. \[b + 1 = 0 \Rightarrow b = -1\]

Однако, нужно исключить значения, при которых знаменатель обращается в ноль:

\[b
eq -3\]

\[b
eq 1\]

Таким образом, \( b = -1 \) является единственным решением.

Ответ: \( b = -1 \)