1. Решите уравнение: a) 5x+14 x²-4 = x² x²-4 ; б) 8/(x-3) - 10/x = 2.

Привет! Давай вместе решим эти уравнения.

а) \[\frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}\]

Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем приравнять числители:

\[5x + 14 = x^2\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получилось квадратное уравнение:

\[x^2 - 5x - 14 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\]

Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня:

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

\[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Теперь проверим, не являются ли эти корни посторонними, то есть не обращают ли знаменатель в нуль.

Если \( x = 7 \), то \( x^2 - 4 = 49 - 4 = 45
eq 0 \).

Если \( x = -2 \), то \( x^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \).

Значит, \( x = -2 \) является посторонним корнем.

Ответ: \[x = 7\]

б) \[\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2\]

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Домножим обе части уравнения на \( x(x-3) \):

\[8x - 10(x-3) = 2x(x-3)\]

Раскроем скобки:

\[8x - 10x + 30 = 2x^2 - 6x\]

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну сторону:

\[-2x + 30 = 2x^2 - 6x\]

\[2x^2 - 4x - 30 = 0\]

Разделим обе части на 2:

\[x^2 - 2x - 15 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\]

Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня:

\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Теперь проверим, не являются ли эти корни посторонними, то есть не обращают ли знаменатель в нуль.

Если \( x = 5 \), то \( x - 3 = 5 - 3 = 2
eq 0 \) и \( x = 5
eq 0 \).

Если \( x = -3 \), то \( x - 3 = -3 - 3 = -6
eq 0 \), но \( x = -3
eq 0 \).

Значит, оба корня подходят.

Ответ: \[x_1 = 5, x_2 = -3\]

Отлично! У тебя все получилось!