634. Решите уравнение: a) 3x+1*2=1; x+2 4 5 г) x+3 3-x 2y-2 y+3 б) y+3+y-3= 5; B) 92-1 4 9y2-1 3y+1 1-3y' =x-1 1; 1; 5-x д) 3 +x-1= 3y-2 1 3y+4 e) y y-2 2 y-29

Решение задания 634.

а) Решим уравнение: \[\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1;\] Умножим обе части уравнения на \((x+2)(x-2)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2) = (x+2)(x-2);\] Раскроем скобки: \[3x^2 - 6x + x - 2 - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4;\] \[3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4;\] \[2x^2 - 6x = x^2 - 4;\] \[2x^2 - x^2 - 6x + 4 = 0;\] \[x^2 - 6x + 4 = 0;\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20;\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5};\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}.\] б) Решим уравнение: \[\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5;\] Умножим обе части уравнения на \((y+3)(y-3)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+3) = 5(y+3)(y-3);\] Раскроем скобки: \[2y^2 - 6y - 2y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 5(y^2 - 9);\] \[3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45;\] \[5y^2 - 3y^2 + 2y - 45 - 15 = 0;\] \[2y^2 + 2y - 60 = 0;\] Разделим уравнение на 2: \[y^2 + y - 30 = 0;\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121;\] \[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5;\] \[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6.\] в) Решим уравнение: \[\frac{4}{9y^2-1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y};\] Заметим, что \(9y^2 - 1 = (3y-1)(3y+1)\) и \(1-3y = -(3y-1)\). Перепишем уравнение: \[\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1};\] Умножим обе части уравнения на \((3y-1)(3y+1)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[4 - 4(3y-1) = -5(3y+1);\] Раскроем скобки: \[4 - 12y + 4 = -15y - 5;\] \[-12y + 15y = -5 - 8;\] \[3y = -13;\] \[y = -\frac{13}{3}.\] г) Решим уравнение: \[\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1;\] Заметим, что \(3-x = -(x-3)\). Перепишем уравнение: \[\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1;\] Умножим обе части уравнения на \((x+3)(x-3)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[4(x-3) + 5(x+3) = 1(x+3) - (x+3)(x-3);\] Раскроем скобки: \[4x - 12 + 5x + 15 = x + 3 - (x^2 - 9);\] \[9x + 3 = x + 3 - x^2 + 9;\] \[9x - x + x^2 = 9;\] \[x^2 + 8x - 9 = 0;\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100;\] \[x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1;\] \[x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9.\] д) Решим уравнение: \[\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x};\] Заметим, что \(x^2 - x = x(x-1)\). Умножим обе части уравнения на \(x(x-1)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[3(x-1) + 4x = 5-x;\] Раскроем скобки: \[3x - 3 + 4x = 5-x;\] \[7x - 3 = 5-x;\] \[7x + x = 5 + 3;\] \[8x = 8;\] \[x = 1.\] Однако, при \(x=1\) знаменатель второй дроби обращается в нуль, следовательно, уравнение не имеет решений. е) Решим уравнение: \[\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y};\] Заметим, что \(y^2 - 2y = y(y-2)\). Умножим обе части уравнения на \(y(y-2)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[(3y-2)(y-2) - 1 \cdot y = 3y+4;\] Раскроем скобки: \[3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y+4;\] \[3y^2 - 9y + 4 = 3y+4;\] \[3y^2 - 9y - 3y = 0;\] \[3y^2 - 12y = 0;\] Вынесем \(3y\) за скобки: \[3y(y - 4) = 0;\] Отсюда либо \(3y = 0\), либо \(y-4 = 0\). Если \(3y = 0\), то \(y = 0\). Если \(y - 4 = 0\), то \(y = 4\). Однако, при \(y=0\) знаменатель первой дроби обращается в нуль, следовательно, \(y=0\) не является решением.

Ответ: а) \[x_1 = 3 + \sqrt{5}; x_2 = 3 - \sqrt{5}.\]; б) \[y_1 = 5; y_2 = -6.\]; в) \[y = -\frac{13}{3}.\]; г) \[x_1 = 1; x_2 = -9.\]; д) нет решений; е) \[y = 4.\]

У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты обязательно достигнешь больших успехов в математике! Молодец!