1031 Решите уравнение: a) 3x(x-1)-17=x(1+3x)+1; 6) 2x-(x+2)(x-2)=5-(x-1)²; 1032 Решите квадратное уравнение: a) 2,5x²+4x=0; в) 0,2t²-t-4,8=0; 6) 6y²-0,24=0; г) 3\frac{1}{3}u²+3u-3=0. 1033 Существует ли значение переменной х, при котором значение квадратного трехчлена х²-10x+31 равно: а) -5; 6) 6; в) 55? 1034 При каких значениях т уравнение имеет хотя бы один корень: a) 10x²-10x+m=0; в) 3x²+mx-5=0; 6) mx²+4x-2=0; г) 2x²-mx+2=0? 1035 При каких значениях к уравнение не имеет корней: a) kx²+8x-15=0; в) 5x²+kx+1=0; 6) 6x²-3x+k=0; г) 7x²-kx-1=0? 1036 Решите уравнение: a) 0,3x (x+13)-2x (0,9-0,2x)=0; 6) 1,5x(x+4)-x(7-0,5x)=0,5 (10-2x); B) (2x+1)²/25 - (x-1)/3 = x; г) (3x+2)²/11 - (x+5)/4 = x²; д) ((2-x)²)/3 -2x= (7+2x)/5; e) ((6-x)²)/8 +x=7-((2x-1)²)/3.

1031 Решите уравнение:

a) \(3x(x-1)-17=x(1+3x)+1\)

1. Раскрываем скобки: \[3x^2 - 3x - 17 = x + 3x^2 + 1\]
2. Переносим все члены в одну сторону: \[3x^2 - 3x - 3x^2 - x = 1 + 17\]
3. Упрощаем: \[-4x = 18\]
4. Делим обе части на -4: \[x = \frac{18}{-4} = -\frac{9}{2} = -4.5\]

Ответ: \(x = -4.5\)

б) \(2x-(x+2)(x-2)=5-(x-1)^2\)

1. Раскрываем скобки: \[2x - (x^2 - 4) = 5 - (x^2 - 2x + 1)\]
2. Упрощаем: \[2x - x^2 + 4 = 5 - x^2 + 2x - 1\]
3. Переносим все члены в одну сторону: \[-x^2 + x^2 + 2x - 2x = 5 - 1 - 4\]
4. Упрощаем: \[0 = 0\]

Ответ: \(x\) - любое число

1032 Решите квадратное уравнение:

a) \(2.5x^2+4x=0\)

1. Выносим \(x\) за скобки: \[x(2.5x + 4) = 0\]
2. Приравниваем каждый множитель к нулю: \[x_1 = 0\] \[2.5x + 4 = 0 \Rightarrow 2.5x = -4 \Rightarrow x_2 = -\frac{4}{2.5} = -\frac{8}{5} = -1.6\]

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = -1.6\)

в) \(0.2t^2-t-4.8=0\)

1. Умножаем на 5: \[t^2 - 5t - 24 = 0\]
2. Находим дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4(1)(-24) = 25 + 96 = 121\]
3. Находим корни: \[t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{5 \pm 11}{2}\] \[t_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[t_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Ответ: \(t_1 = 8, t_2 = -3\)

б) \(6y^2-0.24=0\)

1. Делим на 6: \[y^2 - 0.04 = 0\]
2. Прибавляем 0.04 к обеим частям: \[y^2 = 0.04\]
3. Извлекаем квадратный корень: \[y = \pm \sqrt{0.04} = \pm 0.2\]

Ответ: \(y_1 = 0.2, y_2 = -0.2\)

г) \(3\frac{1}{3}u^2+3u-3=0\)

1. Преобразуем смешанную дробь: \[\frac{10}{3}u^2 + 3u - 3 = 0\]
2. Умножаем на 3: \[10u^2 + 9u - 9 = 0\]
3. Находим дискриминант: \[D = 9^2 - 4(10)(-9) = 81 + 360 = 441\]
4. Находим корни: \[u_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{441}}{2(10)} = \frac{-9 \pm 21}{20}\] \[u_1 = \frac{-9 + 21}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6\] \[u_2 = \frac{-9 - 21}{20} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} = -1.5\]

Ответ: \(u_1 = 0.6, u_2 = -1.5\)

1033 Существует ли значение переменной \(x\), при котором значение квадратного трехчлена \(x^2-10x+31\) равно:

а) \(-5\)

Решаем уравнение: \[x^2 - 10x + 31 = -5\]\[x^2 - 10x + 36 = 0\]\[D = (-10)^2 - 4(1)(36) = 100 - 144 = -44\] Так как \(D < 0\), то корней нет.

б) \(6\)

Решаем уравнение: \[x^2 - 10x + 31 = 6\]\[x^2 - 10x + 25 = 0\]\[D = (-10)^2 - 4(1)(25) = 100 - 100 = 0\] Так как \(D = 0\), то корень один: \[x = \frac{10}{2} = 5\]

в) \(55\)

Решаем уравнение: \[x^2 - 10x + 31 = 55\]\[x^2 - 10x - 24 = 0\]\[D = (-10)^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196\] \[x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{10 \pm 14}{2}\]\[x_1 = \frac{10 + 14}{2} = 12\]\[x_2 = \frac{10 - 14}{2} = -2\]

Ответ: а) не существует, б) существует (\(x=5\)), в) существует (\(x_1=12, x_2=-2\))

1034 При каких значениях \(m\) уравнение имеет хотя бы один корень:

a) \(10x^2-10x+m=0\)

Для наличия хотя бы одного корня дискриминант должен быть больше или равен нулю: \[D = (-10)^2 - 4(10)(m) \ge 0\]\[100 - 40m \ge 0\]\[40m \le 100\]\[m \le \frac{100}{40}\]\[m \le 2.5\]

б) \(mx^2+4x-2=0\)

Если \(m = 0\), уравнение принимает вид \(4x - 2 = 0\), и имеет один корень \(x = \frac{1}{2}\). Если \(m
eq 0\), то для наличия хотя бы одного корня дискриминант должен быть больше или равен нулю: \[D = 4^2 - 4(m)(-2) \ge 0\]\[16 + 8m \ge 0\]\[8m \ge -16\]\[m \ge -2\]

в) \(3x^2+mx-5=0\)

Для наличия хотя бы одного корня дискриминант должен быть больше или равен нулю: \[D = m^2 - 4(3)(-5) \ge 0\]\[m^2 + 60 \ge 0\] Так как \(m^2\) всегда неотрицательно, это неравенство выполняется для любого \(m\).

г) \(2x^2-mx+2=0\)

Для наличия хотя бы одного корня дискриминант должен быть больше или равен нулю: \[D = (-m)^2 - 4(2)(2) \ge 0\]\[m^2 - 16 \ge 0\]\[m^2 \ge 16\]\[|m| \ge 4\]

Ответ: а) \(m \le 2.5\), б) \(m \ge -2\) или \(m = 0\), в) \(m\) - любое число, г) \(|m| \ge 4\)

1035 При каких значениях \(k\) уравнение не имеет корней:

a) \(kx^2+8x-15=0\)

Если \(k = 0\), уравнение принимает вид \(8x - 15 = 0\), и имеет один корень \(x = \frac{15}{8}\). Если \(k
eq 0\), то для отсутствия корней дискриминант должен быть меньше нуля: \[D = 8^2 - 4(k)(-15) < 0\]\[64 + 60k < 0\]\[60k < -64\]\[k < -\frac{64}{60}\]\[k < -\frac{16}{15}\]

б) \(6x^2-3x+k=0\)

Для отсутствия корней дискриминант должен быть меньше нуля: \[D = (-3)^2 - 4(6)(k) < 0\]\[9 - 24k < 0\]\[24k > 9\]\[k > \frac{9}{24}\]\[k > \frac{3}{8}\]

в) \(5x^2+kx+1=0\)

Для отсутствия корней дискриминант должен быть меньше нуля: \[D = k^2 - 4(5)(1) < 0\]\[k^2 - 20 < 0\]\[k^2 < 20\]\[-\sqrt{20} < k < \sqrt{20}\]\[-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}\]

г) \(7x^2-kx-1=0\)

Для отсутствия корней дискриминант должен быть меньше нуля: \[D = (-k)^2 - 4(7)(-1) < 0\]\[k^2 + 28 < 0\] Так как \(k^2\) всегда неотрицательно, это неравенство не имеет решений.

Ответ: а) \(k < -\frac{16}{15}\), б) \(k > \frac{3}{8}\), в) \(-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}\), г) нет таких \(k\)

1036 Решите уравнение:

a) \(0.3x(x+13)-2x(0.9-0.2x)=0\)

1. Раскрываем скобки: \[0.3x^2 + 3.9x - 1.8x + 0.4x^2 = 0\]
2. Упрощаем: \[0.7x^2 + 2.1x = 0\]
3. Выносим \(x\) за скобки: \[x(0.7x + 2.1) = 0\]
4. Приравниваем каждый множитель к нулю: \[x_1 = 0\] \[0.7x + 2.1 = 0 \Rightarrow 0.7x = -2.1 \Rightarrow x_2 = -\frac{2.1}{0.7} = -3\]

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = -3\)

б) \(1.5x(x+4)-x(7-0.5x)=0.5(10-2x)\)

1. Раскрываем скобки: \[1.5x^2 + 6x - 7x + 0.5x^2 = 5 - x\]
2. Упрощаем: \[2x^2 - x = 5 - x\]
3. Переносим все члены в одну сторону: \[2x^2 - x + x - 5 = 0\]
4. Упрощаем: \[2x^2 - 5 = 0\]
5. Решаем уравнение: \[2x^2 = 5\]\[x^2 = \frac{5}{2}\]\[x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}\]

Ответ: \(x_1 = \frac{\sqrt{10}}{2}, x_2 = -\frac{\sqrt{10}}{2}\)

в) \(\frac{(2x+1)^2}{25} - \frac{x-1}{3} = x\)

1. Умножаем обе части на 75: \[3(2x+1)^2 - 25(x-1) = 75x\]
2. Раскрываем скобки: \[3(4x^2 + 4x + 1) - 25x + 25 = 75x\]\[12x^2 + 12x + 3 - 25x + 25 = 75x\]
3. Упрощаем: \[12x^2 - 13x + 28 = 75x\]
4. Переносим все члены в одну сторону: \[12x^2 - 88x + 28 = 0\]
5. Делим на 4: \[3x^2 - 22x + 7 = 0\]
6. Находим дискриминант: \[D = (-22)^2 - 4(3)(7) = 484 - 84 = 400\]
7. Находим корни: \[x_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{400}}{2(3)} = \frac{22 \pm 20}{6}\] \[x_1 = \frac{22 + 20}{6} = \frac{42}{6} = 7\] \[x_2 = \frac{22 - 20}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Ответ: \(x_1 = 7, x_2 = \frac{1}{3}\)

г) \(\frac{(3x+2)^2}{11} - \frac{x+5}{4} = x^2\)

1. Умножаем обе части на 44: \[4(3x+2)^2 - 11(x+5) = 44x^2\]
2. Раскрываем скобки: \[4(9x^2 + 12x + 4) - 11x - 55 = 44x^2\]\[36x^2 + 48x + 16 - 11x - 55 = 44x^2\]
3. Упрощаем: \[36x^2 + 37x - 39 = 44x^2\]
4. Переносим все члены в одну сторону: \[8x^2 - 37x + 39 = 0\]
5. Находим дискриминант: \[D = (-37)^2 - 4(8)(39) = 1369 - 1248 = 121\]
6. Находим корни: \[x_{1,2} = \frac{37 \pm \sqrt{121}}{2(8)} = \frac{37 \pm 11}{16}\] \[x_1 = \frac{37 + 11}{16} = \frac{48}{16} = 3\] \[x_2 = \frac{37 - 11}{16} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}\]

Ответ: \(x_1 = 3, x_2 = \frac{13}{8}\)

д) \(\frac{(2-x)^2}{3} - 2x = \frac{7+2x}{5}\)

1. Умножаем обе части на 15: \[5(2-x)^2 - 30x = 3(7+2x)\]
2. Раскрываем скобки: \[5(4 - 4x + x^2) - 30x = 21 + 6x\]\[20 - 20x + 5x^2 - 30x = 21 + 6x\]
3. Упрощаем: \[5x^2 - 50x + 20 = 21 + 6x\]
4. Переносим все члены в одну сторону: \[5x^2 - 56x - 1 = 0\]
5. Находим дискриминант: \[D = (-56)^2 - 4(5)(-1) = 3136 + 20 = 3156\]
6. Находим корни: \[x_{1,2} = \frac{56 \pm \sqrt{3156}}{2(5)} = \frac{56 \pm 2\sqrt{789}}{10} = \frac{28 \pm \sqrt{789}}{5}\]

Ответ: \(x_1 = \frac{28 + \sqrt{789}}{5}, x_2 = \frac{28 - \sqrt{789}}{5}\)

e) \(\frac{(6-x)^2}{8} + x = 7 - \frac{(2x-1)^2}{3}\)

1. Умножаем обе части на 24: \[3(6-x)^2 + 24x = 168 - 8(2x-1)^2\]
2. Раскрываем скобки: \[3(36 - 12x + x^2) + 24x = 168 - 8(4x^2 - 4x + 1)\]\[108 - 36x + 3x^2 + 24x = 168 - 32x^2 + 32x - 8\]
3. Упрощаем: \[3x^2 - 12x + 108 = -32x^2 + 32x + 160\]
4. Переносим все члены в одну сторону: \[35x^2 - 44x - 52 = 0\]
5. Находим дискриминант: \[D = (-44)^2 - 4(35)(-52) = 1936 + 7280 = 9216\]
6. Находим корни: \[x_{1,2} = \frac{44 \pm \sqrt{9216}}{2(35)} = \frac{44 \pm 96}{70}\] \[x_1 = \frac{44 + 96}{70} = \frac{140}{70} = 2\] \[x_2 = \frac{44 - 96}{70} = \frac{-52}{70} = -\frac{26}{35}\]

Ответ: \(x_1 = 2, x_2 = -\frac{26}{35}\)