607. Решите уравнение: a) 5/(y-2) - 4/(y-3) = 1/y; б) 1/(2(x+1)) + 1/(x+2) = 3/(x+3); в) 1/(x+2) + 1/(x²-2x) = 8/(x³-4x); г) 10/(y²-y) + 1/(y-y²) = 1/(1+y); д) 1 + 45/(x²-8x+16) = 14/(x-4); e) 5/(x-1) - 4/(3-6x+3x²) = 3.

Решим уравнения:

a) $$\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y};$$

ОДЗ: $$y
eq 0; y
eq 2; y
eq 3$$.

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{5y(y-3) - 4y(y-2) - (y-2)(y-3)}{y(y-2)(y-3)} = 0;$$

$$5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y - (y^2 - 5y + 6) = 0;$$

$$5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y - y^2 + 5y - 6 = 0;$$

$$-2y + 8y - 15y + 5y - y^2 + 5y^2 - 4y^2 - 6 = 0;$$

$$-2y = 6;$$

$$y = -3$$.

Ответ: $$y = -3$$.

---

б) $$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3};$$

ОДЗ: $$x
eq -1; x
eq -2; x
eq -3$$.

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 6(x+1)(x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0;$$

$$x^2 + 5x + 6 + 2(x^2 + 4x + 3) - 6(x^2 + 3x + 2) = 0;$$

$$x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 8x + 6 - 6x^2 - 18x - 12 = 0;$$

$$-3x^2 - 5x = 0;$$

$$x(-3x - 5) = 0;$$

$$x_1 = 0;$$

$$x_2 = -\frac{5}{3}$$.

Ответ: $$x_1 = 0; x_2 = -\frac{5}{3}$$.

---

в) $$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x};$$

ОДЗ: $$x
eq 0; x
eq 2; x
eq -2$$.

Преобразуем уравнение:

$$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)};$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{x(x-2) + (x+2) - 8}{x(x-2)(x+2)} = 0;$$

$$x^2 - 2x + x + 2 - 8 = 0;$$

$$x^2 - x - 6 = 0;$$

По теореме Виета:

$$x_1 = -2;$$

$$x_2 = 3;$$

Корень $$x_1 = -2$$ не входит в ОДЗ.

Ответ: $$x = 3$$.

---

г) $$\frac{10}{y^2-y} + \frac{1}{y-y^2} = \frac{1}{1+y};$$

ОДЗ: $$y
eq 0; y
eq 1; y
eq -1$$.

Преобразуем уравнение:

$$\frac{10}{y(y-1)} - \frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{1+y};$$

$$\frac{9}{y(y-1)} = \frac{1}{1+y};$$

$$\frac{9}{y(y-1)} - \frac{1}{1+y} = 0;$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{9(1+y) - y(y-1)}{y(y-1)(1+y)} = 0;$$

$$9 + 9y - y^2 + y = 0;$$

$$-y^2 + 10y + 9 = 0;$$

$$y^2 - 10y - 9 = 0;$$

$$D = 100 + 36 = 136;$$

$$y_1 = \frac{10 + \sqrt{136}}{2} = 5 + \sqrt{34};$$

$$y_2 = \frac{10 - \sqrt{136}}{2} = 5 - \sqrt{34}$$.

Ответ: $$y_1 = 5 + \sqrt{34}; y_2 = 5 - \sqrt{34}$$.

---

д) $$1 + \frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4};$$

ОДЗ: $$x
eq 4$$.

$$1 + \frac{45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4};$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(x-4)^2 + 45 - 14(x-4)}{(x-4)^2} = 0;$$

$$x^2 - 8x + 16 + 45 - 14x + 56 = 0;$$

$$x^2 - 22x + 117 = 0;$$

$$D = 22^2 - 4 \cdot 117 = 484 - 468 = 16;$$

$$x_1 = \frac{22 + 4}{2} = 13;$$

$$x_2 = \frac{22 - 4}{2} = 9$$.

Ответ: $$x_1 = 13; x_2 = 9$$.

---

e) $$\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3;$$

ОДЗ: $$x
eq 1$$.

$$\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(x-1)^2} = 3;$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{15(x-1) - 4 - 9(x-1)^2}{3(x-1)^2} = 0;$$

$$15x - 15 - 4 - 9(x^2 - 2x + 1) = 0;$$

$$15x - 19 - 9x^2 + 18x - 9 = 0;$$

$$-9x^2 + 33x - 28 = 0;$$

$$9x^2 - 33x + 28 = 0;$$

$$D = 33^2 - 4 \cdot 9 \cdot 28 = 1089 - 1008 = 81;$$

$$x_1 = \frac{33 + 9}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3};$$

$$x_2 = \frac{33 - 9}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$$.

Ответ: $$x_1 = \frac{7}{3}; x_2 = \frac{4}{3}$$.