3. Решите уравнение: a) y-14/y³-8 = 5/y²+2y+4 - 1/y-2; б) 8c-3/4c²-2c+1 + 6/8c³+1 = 2/2c+1; в) 14/x³+x²-9x-9 = 1/x+3 - 7/(x-3)(x+1); г) 1/x³-4x + 1/x³+4x - 4/x⁴-16 = 0.

3. Решите уравнение:

а) \(\frac{y-14}{y^3-8} = \frac{5}{y^2+2y+4} - \frac{1}{y-2}\)

Давай разберем по порядку. Сначала разложим знаменатель \(y^3 - 8\) как разность кубов: \[y^3 - 8 = (y - 2)(y^2 + 2y + 4)\] Теперь приведем уравнение к общему знаменателю: \[\frac{y-14}{(y-2)(y^2+2y+4)} = \frac{5(y-2) - (y^2+2y+4)}{(y-2)(y^2+2y+4)}\] Умножим обе части уравнения на \((y-2)(y^2+2y+4)\), чтобы избавиться от знаменателя: \[y - 14 = 5(y-2) - (y^2 + 2y + 4)\] Раскроем скобки и упростим: \[y - 14 = 5y - 10 - y^2 - 2y - 4\] \[y - 14 = 3y - 14 - y^2\] Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[y^2 - 2y = 0\] Вынесем y за скобки: \[y(y - 2) = 0\] Получаем два возможных решения: \[y = 0 \text{ или } y = 2\] Однако, нужно проверить, не являются ли эти корни посторонними, учитывая исходное уравнение. Если \(y = 2\), то в знаменателе будет ноль, что недопустимо. Поэтому \(y = 2\) — посторонний корень. Таким образом, остается только одно решение: \[y = 0\]

Ответ: y = 0

б) \(\frac{8c-3}{4c^2-2c+1} + \frac{6}{8c^3+1} = \frac{2}{2c+1}\)

Сначала разложим знаменатель \(8c^3 + 1\) как сумму кубов: \[8c^3 + 1 = (2c + 1)(4c^2 - 2c + 1)\] Теперь перепишем уравнение с учетом этого разложения: \[\frac{8c-3}{4c^2-2c+1} + \frac{6}{(2c+1)(4c^2-2c+1)} = \frac{2}{2c+1}\] Приведем все к общему знаменателю: \[\frac{(8c-3)(2c+1) + 6}{(2c+1)(4c^2-2c+1)} = \frac{2(4c^2-2c+1)}{(2c+1)(4c^2-2c+1)}\] Умножим обе части уравнения на \((2c+1)(4c^2-2c+1)\), чтобы избавиться от знаменателя: \[(8c-3)(2c+1) + 6 = 2(4c^2-2c+1)\] Раскроем скобки и упростим: \[16c^2 + 8c - 6c - 3 + 6 = 8c^2 - 4c + 2\] \[16c^2 + 2c + 3 = 8c^2 - 4c + 2\] Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[8c^2 + 6c + 1 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4\] Так как дискриминант положительный, у нас два корня: \[c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 \pm 2}{16}\] Найдем корни: \[c_1 = \frac{-6 + 2}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}\] \[c_2 = \frac{-6 - 2}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}\] Проверим, не являются ли эти корни посторонними. Подставим их в исходное уравнение. Корень \(c = -\frac{1}{2}\) обращает знаменатель \(2c+1\) в ноль, поэтому он является посторонним. Таким образом, остается только одно решение: \[c = -\frac{1}{4}\]

Ответ: c = -1/4

в) \(\frac{14}{x^3+x^2-9x-9} = \frac{1}{x+3} - \frac{7}{(x-3)(x+1)}\)

Сначала разложим знаменатель \(x^3 + x^2 - 9x - 9\) методом группировки: \[x^3 + x^2 - 9x - 9 = x^2(x+1) - 9(x+1) = (x^2 - 9)(x+1) = (x-3)(x+3)(x+1)\] Теперь перепишем уравнение с учетом этого разложения: \[\frac{14}{(x-3)(x+3)(x+1)} = \frac{1}{x+3} - \frac{7}{(x-3)(x+1)}\] Приведем все к общему знаменателю: \[\frac{14}{(x-3)(x+3)(x+1)} = \frac{(x-3)(x+1) - 7(x+3)}{(x-3)(x+3)(x+1)}\] Умножим обе части уравнения на \((x-3)(x+3)(x+1)\), чтобы избавиться от знаменателя: \[14 = (x-3)(x+1) - 7(x+3)\] Раскроем скобки и упростим: \[14 = x^2 + x - 3x - 3 - 7x - 21\] \[14 = x^2 - 9x - 24\] Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 - 9x - 38 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-38) = 81 + 152 = 233\] Так как дискриминант положительный, у нас два корня: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{233}}{2}\] Таким образом, получаем два решения: \[x_1 = \frac{9 + \sqrt{233}}{2}\] \[x_2 = \frac{9 - \sqrt{233}}{2}\]

Ответ: x = (9 ± √233) / 2

г) \(\frac{1}{x^3-4x} + \frac{1}{x^3+4x} - \frac{4}{x^4-16} = 0\)

Сначала разложим знаменатели: \[x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)\] \[x^3 + 4x = x(x^2 + 4)\] \[x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x-2)(x+2)(x^2 + 4)\] Теперь перепишем уравнение с учетом этих разложений: \[\frac{1}{x(x-2)(x+2)} + \frac{1}{x(x^2+4)} - \frac{4}{(x-2)(x+2)(x^2+4)} = 0\] Приведем все к общему знаменателю: \[\frac{x^2+4 + (x-2)(x+2) - 4x}{x(x-2)(x+2)(x^2+4)} = 0\] Упростим числитель: \[\frac{x^2 + 4 + x^2 - 4 - 4x}{x(x-2)(x+2)(x^2+4)} = 0\] \[\frac{2x^2 - 4x}{x(x-2)(x+2)(x^2+4)} = 0\] Вынесем 2x за скобки в числителе: \[\frac{2x(x - 2)}{x(x-2)(x+2)(x^2+4)} = 0\] Сократим x и (x-2): \[\frac{2}{(x+2)(x^2+4)} = 0\] Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю. Но в данном случае числитель равен 2, что не равно нулю. Значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

Отлично, ты хорошо справился с этими уравнениями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!