3. Решите уравнение: 7a-6 a) a³+27 = a²-3a+9 - a+3 ; y+3 б) 9y2+3y+1 + 27y3-1 = 3y-1 ;

а)

Прежде всего, разложим знаменатели, чтобы найти общий знаменатель:

\[a^3 + 27 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)\]

Уравнение принимает вид:

\[\frac{7a - 6}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{1}{a^2 - 3a + 9} - \frac{1}{a + 3}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{7a - 6}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{1(a + 3) - 1(a^2 - 3a + 9)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}\]

\[\frac{7a - 6}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a + 3 - a^2 + 3a - 9}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}\]

Приравняем числители:

\[7a - 6 = a + 3 - a^2 + 3a - 9\]

\[7a - 6 = -a^2 + 4a - 6\]

Перенесем все в левую часть:

\[a^2 + 3a = 0\]

Вынесем a за скобку:

\[a(a + 3) = 0\]

Получаем два возможных решения:

• \[a = 0\]
• \[a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3\]

Проверим, при каких значениях знаменатель исходного уравнения не равен нулю:

\[a
eq -3\]

Следовательно, a = -3 не является решением.

Ответ: a = 0

б)

Прежде всего, разложим знаменатели, чтобы найти общий знаменатель:

\[27y^3 - 1 = (3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)\]

Уравнение принимает вид:

\[\frac{y + 3}{9y^2 + 3y + 1} + \frac{3}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} = \frac{1}{3y - 1}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{(y + 3)(3y - 1) + 3}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} = \frac{1(9y^2 + 3y + 1)}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)}\]

\[\frac{3y^2 - y + 9y - 3 + 3}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} = \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)}\]

\[\frac{3y^2 + 8y}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} = \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)}\]

Приравняем числители:

\[3y^2 + 8y = 9y^2 + 3y + 1\]

Перенесем все в правую часть:

\[6y^2 - 5y + 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1\]

\[y_1 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

\[y_2 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Проверим, при каких значениях знаменатель исходного уравнения не равен нулю:

\[3y - 1
eq 0 \Rightarrow y
eq \frac{1}{3}\]

Следовательно, y = 1/3 не является решением.

Ответ: y = 1/2