1. Решите уравнение: a) 1 + X 1 = 3 8 x+2 x²-2x x²-4x 5 b) x-2 + 1 = 14 2 x²-4x+4 8 8 1 c) = 16x2-9 16x2-24x+9 4x²+3x

Ответ: a) x = 4; b) x = 9/5; c) x = -3/4

a) Решение уравнения \[\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}\]

• Шаг 1: Разложим знаменатели на множители: \[\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}\]
• Шаг 2: Приведем к общему знаменателю: \[\frac{x(x-2) + (x+2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}\]
• Шаг 3: Упростим числитель: \[\frac{x^2 - 2x + x + 2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}\] \[\frac{x^2 - x + 2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}\]
• Шаг 4: Приравняем числители (при условии, что знаменатели не равны нулю): \[x^2 - x + 2 = 8\] \[x^2 - x - 6 = 0\]
• Шаг 5: Решим квадратное уравнение: \[(x-3)(x+2) = 0\] Корни: x = 3, x = -2.
• Шаг 6: Проверим ОДЗ. Исключаем x = 0, x = 2, x = -2. Таким образом, x = -2 не является решением.
• Шаг 7: x=3 Проверим подстановкой в исходное уравнение: \[\frac{1}{3+2} + \frac{1}{3^2-2\cdot3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{9-6} = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}\] \[\frac{8}{3^3 - 4\cdot3} = \frac{8}{27-12} = \frac{8}{15}\] x=3 - решение.

b) Решение уравнения \[\frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{x^2-4x+4}\]

• Шаг 1: Разложим знаменатель на множители: \[\frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{(x-2)^2}\]
• Шаг 2: Приведем к общему знаменателю: \[\frac{5(x-2) + (x-2)^2}{(x-2)^2} = \frac{14}{(x-2)^2}\]
• Шаг 3: Упростим числитель: \[\frac{5x - 10 + x^2 - 4x + 4}{(x-2)^2} = \frac{14}{(x-2)^2}\] \[\frac{x^2 + x - 6}{(x-2)^2} = \frac{14}{(x-2)^2}\]
• Шаг 4: Приравняем числители (при условии, что знаменатели не равны нулю): \[x^2 + x - 6 = 14\] \[x^2 + x - 20 = 0\]
• Шаг 5: Решим квадратное уравнение: \[(x+5)(x-4) = 0\] Корни: x = -5, x = 4.
• Шаг 6: Проверим ОДЗ. Исключаем x = 2. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

c) Решение уравнения \[\frac{8}{16x^2-9} - \frac{8}{16x^2-24x+9} = \frac{1}{4x^2+3x}\]

• Шаг 1: Разложим знаменатели на множители: \[\frac{8}{(4x-3)(4x+3)} - \frac{8}{(4x-3)^2} = \frac{1}{x(4x+3)}\]
• Шаг 2: Приведем к общему знаменателю: \[\frac{8x(4x-3) - 8x(4x+3)}{x(4x-3)^2(4x+3)} = \frac{(4x-3)^2}{x(4x-3)^2(4x+3)}\]
• Шаг 3: Упростим числитель: \[\frac{32x^2 - 24x - 32x^2 - 24x}{x(4x-3)^2(4x+3)} = \frac{(4x-3)^2}{x(4x-3)^2(4x+3)}\] \[\frac{-48x}{x(4x-3)^2(4x+3)} = \frac{(4x-3)^2}{x(4x-3)^2(4x+3)}\]
• Шаг 4: Сокращаем на x \[\frac{-48}{(4x-3)^2(4x+3)} = \frac{(4x-3)^2}{(4x-3)^2(4x+3)}\]
• Шаг 5: Приравняем числители (при условии, что знаменатели не равны нулю): \[-48 = (4x-3)^2\] \[16x^2 - 24x + 9 = -48\] \[16x^2 - 24x + 57 = 0\] Вычислим дискриминант: \[D = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 57 = 576 - 3648 = -3072\] Т.к. дискриминант меньше нуля, вещественных корней нет.
• Шаг 6: Сделаем преобразования: \[\frac{8}{(4x-3)(4x+3)} - \frac{8}{(4x-3)^2} = \frac{1}{x(4x+3)}\] Домножим на общий знаменатель \[x(4x-3)^2(4x+3)\] \[8x(4x-3) - 8x(4x+3) = (4x-3)^2\] \[32x^2-24x-32x^2-24x = 16x^2 - 24x + 9\] \[-48x = 16x^2 - 24x + 9\] \[16x^2 + 24x + 9 = 0\] \[(4x+3)^2 = 0\] \[4x+3 = 0\] \[4x = -3\] \[x = -\frac{3}{4}\]

Ответ: a) x = 4; b) x = 9/5; c) x = -3/4