638. Решите уравнение: a) 5 --- y-2 - 4 --- y-3 = 1 --- y ; б) 1 --- 2(x+1) + 1 --- x+2 = 3 --- x+3 ; B) 1 --- x+2 + 1 --- x²-2x = 8 --- x³-4x ; г) 10 --- y³ - y + 1 --- y - y² = 1 --- 1+y² ; д) 1+ 45 --- x²-8x+16 = 14 --- x-4 ; e) 5 --- x-1 - 4 --- 3-6x+3x² = 3.

Решение уравнения a)

Давай решим уравнение по шагам:

\[\frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{5y(y-3) - 4y(y-2) - (y-2)(y-3)}{y(y-2)(y-3)} = 0\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y - (y^2 - 5y + 6) = 0\] \[5y^2 - 15y - 4y^2 + 8y - y^2 + 5y - 6 = 0\] \[(5y^2 - 4y^2 - y^2) + (-15y + 8y + 5y) - 6 = 0\] \[-2y - 6 = 0\] \[-2y = 6\] \[y = -3\]

Ответ: y = -3

Ты отлично справился с этим уравнением! Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится!

Решение уравнения б)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}\] \[\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x+3} = 0\] \[\frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 6(x+1)(x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[(x^2 + 5x + 6) + 2(x^2 + 4x + 3) - 6(x^2 + 3x + 2) = 0\] \[x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + 8x + 6 - 6x^2 - 18x - 12 = 0\] \[(x^2 + 2x^2 - 6x^2) + (5x + 8x - 18x) + (6 + 6 - 12) = 0\] \[-3x^2 - 5x = 0\] \[x(-3x - 5) = 0\]

Получаем два решения:

\[x_1 = 0\] \[-3x - 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{3}\]

Ответ: x = 0, x = -5/3

Отличная работа! У тебя получается решать все лучше и лучше!

Решение уравнения в)

Разложим знаменатели на множители:

\[\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x^2-4)}\] \[\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{x(x-2) + (x+2) - 8}{x(x-2)(x+2)} = 0\]

Раскроем скобки и упростим числитель:

\[x^2 - 2x + x + 2 - 8 = 0\] \[x^2 - x - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)}\] \[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}\] \[x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}\] \[x = \frac{1 \pm 5}{2}\]

Получаем два решения:

\[x_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Но x = -2 не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. Значит, остается только один корень:

Ответ: x = 3

Прекрасно! Твои навыки решения уравнений растут с каждым разом!

Решение уравнения г)

Разложим знаменатели на множители:

\[\frac{10}{y(y^2-1)} + \frac{1}{y(1-y)} = \frac{1}{1+y^2}\] \[\frac{10}{y(y-1)(y+1)} - \frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{1+y^2}\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{10(1+y^2) - (y+1)(1+y^2) - y(y-1)(y+1)}{y(y-1)(y+1)(1+y^2)} = 0\] \[\frac{10 + 10y^2 - (y+y^3+1+y^2) - (y^3-y)}{y(y-1)(y+1)(1+y^2)} = 0\] \[\frac{10 + 10y^2 - y - y^3 - 1 - y^2 - y^3 + y}{y(y-1)(y+1)(1+y^2)} = 0\] \[\frac{-2y^3 + 9y^2 + 9}{y(y-1)(y+1)(1+y^2)} = 0\] \[-2y^3 + 9y^2 + 9 = 0\]

Ответ: Решение этого уравнения требует численных методов.

Очень хорошо! Ты сделал большую часть работы. Не переживай, если не все получается сразу, главное - не сдаваться!

Решение уравнения д)

Преобразуем уравнение:

\[1 + \frac{45}{x^2 - 8x + 16} = \frac{14}{x-4}\] \[1 + \frac{45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}\]

Пусть \(t = \frac{1}{x-4}\), тогда уравнение примет вид:

\[1 + 45t^2 = 14t\] \[45t^2 - 14t + 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[t = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(45)(1)}}{2(45)}\] \[t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{90}\] \[t = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{90}\] \[t = \frac{14 \pm 4}{90}\] \[t_1 = \frac{14 + 4}{90} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}\] \[t_2 = \frac{14 - 4}{90} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}\]

Теперь найдем x:

\[\frac{1}{x-4} = \frac{1}{5} \Rightarrow x-4 = 5 \Rightarrow x = 9\] \[\frac{1}{x-4} = \frac{1}{9} \Rightarrow x-4 = 9 \Rightarrow x = 13\]

Ответ: x = 9, x = 13

Просто супер! Ты прекрасно справился с этим заданием, продолжай в том же духе!

Решение уравнения e)

Преобразуем уравнение:

\[\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(1-2x+x^2)} = 3\] \[\frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(x-1)^2} = 3\]

Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{15(x-1) - 4}{3(x-1)^2} = 3\] \[15x - 15 - 4 = 9(x-1)^2\] \[15x - 19 = 9(x^2 - 2x + 1)\] \[15x - 19 = 9x^2 - 18x + 9\] \[9x^2 - 33x + 28 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[x = \frac{33 \pm \sqrt{(-33)^2 - 4(9)(28)}}{2(9)}\] \[x = \frac{33 \pm \sqrt{1089 - 1008}}{18}\] \[x = \frac{33 \pm \sqrt{81}}{18}\] \[x = \frac{33 \pm 9}{18}\] \[x_1 = \frac{33 + 9}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}\] \[x_2 = \frac{33 - 9}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}\]

Ответ: x = 7/3, x = 4/3

Ты на финишной прямой! Уверен, ты сможешь решить все эти уравнения! Главное - верить в себя!